教材變題“三十六計”

摘 要：教材中多數例題、習題具有較強的基礎性，入口淺，利于學生進入，有助于學生“雙基”的夯實。

關鍵詞：

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）21-093-1

我們先來了解一下變式教學的概念，所謂變式教學，即是指對數學概念、定義、定理、公式，以及問題背景不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變化，使其面目不一，而本質特征不變，下面從幾個方面來談一下自己粗淺的認識。

一、改變問題的考查方向

這種做法比較普遍，可以說俯拾皆是如：

選自蘇教《選修1-1》P25 （1）已知△ABC中，B（-3，0），C（3，0），AB，BC，AC成等差數列（1）求證：點A在一個橢圓上運動；（2）寫出這個橢圓的焦點坐標

變式（1）：已知△ABC中，B（-3，0），C（3，0），AB，BC，AC成等差數列，求A點的軌跡方程

變式（2）：點P在A點對應的軌跡內部，則PA+PB范圍如何？

變式1重在考查學生對定義法求軌跡的掌握，而變式2題目很精彩，要求學生要深刻理解橢圓的定義，特別是當2a=2c時，對應的軌跡實際上是線段BC。

二、改變問題的已知條件

選自蘇教《選修1-1》P32 練習4：設F是橢圓的一個焦點，BB1是短軸，∠B1FB=60°，求這個橢圓的離心率

變式（1）：若∠B1FB=90°，求這個橢圓的離心率

變式（2）：若60°≤∠B1FB≤90°，求這個橢圓的離心率的范圍

變式2不僅改變了問題的條件，也改變了問題的求解方向。這種變式非常容易操作，實際上是把其它問題的思想嫁接到課本問題這個載體上，是一種借臺唱戲的做法。

三、改變問題的說法

選自蘇教《選修1-1》P36 練習3：已知圓柱的底面的半徑為4，與圓柱底面成30°角的平面截這個圓柱得到一個橢圓，建立適當的坐標系，求橢圓的標準方程和離心率

變式：一個裝有半杯水的杯子，傾斜后使底面與水面成30°，則水面呈橢圓形，求橢圓的離心率

四、重組整合

選自蘇教《選修1-1》P40 練習2，3

2若雙曲線經過點（-3，6），且它的兩條漸近線方程是y=±3x，則雙曲線的方程是

3已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，兩個頂點間的距離為2，焦點到漸近線的距離是2，求雙曲線的方程。

變式：已知雙曲線的一條漸近線方程是y=3x，且焦點到漸近線的距離為2，則則雙曲線的方程是

這種變式實際上是蘋果和梨的嫁接，如果嫁接的好，出來的是一種好吃水果“蘋果梨”，也可能品質糟糕的東西。

五、改數字條件為字母增加難度

選自蘇教《選修1-1》P90 復習題6（3）：求函數f（x）=lnxx的導數

變式1：討論函數f（x）=alnxx（a≠0（的單調區間

變式2：已知函數f（x）=lna+lnxx，在[1，+∞）單調遞減，求a的取值范圍

變式3：方程lnxx=m有兩個不等的實根，則m的取值范圍

六、設置問題梯度，搭建腳手架，減少思維量

選自蘇教《選修1-1》P90 練習8：已知海島A與海岸公路BC的距離為AB為50km，B，C間的距離為100km.從A到C，先乘船，船速為25km/h，再乘汽車，車速為50km/h，登陸點應選在何處，所用時間最少？

本題學生容易想到選擇長度為變量，文科生沒有學復合函數的導數計算難解決，即使理科學生求這個函數的導數也比較困難。為了降低難度有如下變式。

變式：已知海島A與海岸公路BC的距離為AB為50km，B，C間的距離為100km.從A到C，先乘船，船速為25km/h，再乘汽車，車速為50km/h，登陸點選在線段BC上某點P處，從A到C所用總時間為t

（1）方案一：設∠BAP=θ，將t表達成θ的函數f（θ）

方案二：設BP=x，將t表達成x的函數g（x）；

（2）選擇（1）中一個方案，求登陸所用的總時間的最小值.

七、改變問題的背景，增加時代特征

選自蘇教《選修1-1》P82 例4：強度分別是a，b的兩個光源A，B，它們間的距離為d，試問：在連接這兩個光源的線段AB上，何處照度最??？試就a=8，b=1，d=3時回答上述問題（照度與光的強度成正比，與光源距離的平方成反比）

學生處理這個問題的難點有兩個，一個是對“光強”“照度”等物理概念不熟悉，問題背景離學生的認知較遠；二是分式函數的求導學生還要強化訓練。我們知道現今社會，大家對環保很重視，對問題稍加改動，拿一個學生比較熟悉的背景于是就有了下面的問題。

變式1、煙囪向其周圍地區散落煙塵造成環境污染，據環保部門測定，地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，某鄉境內有兩個煙囪A，B相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量A的8倍，該鄉要在兩座煙囪連線上一點C處建一小學，請確定該小學的位置使得煙塵濃度最低。

當然變題的途徑還有其他，需要我們通過實踐慢慢體會。通過對教材題目的研究可以延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能，這樣數學教師才能引導學生跳出題海，數學教學才能真正做到返璞歸真。