改變思維角度 巧解數學問題

伽利略有句名言：“科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的”，說明了思維在學科發展中的重要作用.要實現思維創新，必須突破思維定勢的束縛.而突破思維定勢束縛的最好辦法，就是改變思維角度. 改變思維角度的途徑主要有:改變萬事順著想的思路，把單向變為多向，把直接變為間接，把正向變為逆向，并把握好局部和整體.學生經過一段時間學習之后，掌握了一定的數學知識，形成了一定的思維方法，為解決數學問題打下了基礎，但已形成的思維習慣，有時又限制了學生解題技能的發揮.因此，在教學中注重培養學生的思維方法，使他們不受固定模式的束縛，學會改變思維角度，發現解決問題的新方法尤其重要.

一、發散思維

發散思維，又稱輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維，是指大腦在思維時呈現的一種擴散狀態的思維模式，它表現為思維視野廣闊，思維呈現出多維發散狀.

【例1】 求函數f(x)=x+1x(x＞0)的值域.

方法一：判別式法.

設y=x+1x，則x2-yx+1=0，由Δ=y2-4≥0得y≥2，

當y=2時，x2-2x+1=0，即x=1. 因此當x=1時，

f(x)=x+1x(x＞0)有最小值2，即值域為［2，+∞).

方法二：單調性法.

先判斷函數f(x)=x+1x(x＞0)的單調性.

任取0＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2.

當0＜x1＜x2≤1時，即f(x1)＞f(x2)，此時f(x)在(0，1］上是減函數；

當1＜x1＜x2時，f(x1)＜f(x2)，f(x)在(1，+∞)上是增函數.

由f(x)在(0，1］上是減函數，f(x)在(1，+∞)上是增函數，知

x=1時，f(x)有最小值2，即值域為［2，+∞).

方法三：配方法.

f(x)＝x+1x=(x-1x)2+2，當x-1x=0時，x=1，此時

f(x)有最小值2，即值域為［2，+∞).

上面例子通過從不同方面思考同一問題，從“一題多解”、“一事多寫”、“一物多用”等方式，培養學生的發散思維能力.從問題的要求出發，沿不同的方向去探求多種答案的思維形式.當問題存在著多種答案時，才能發生發散思維.它不墨守成規，不拘泥于傳統的做法，有更多的創造性.

二、整體思維

聯想能有效提高學生思維的質量和流暢性.常規解題方法是將問題拆開分析，逐一解決.與之相反，整體思維是把問題作為整體看待，而不對問題進行拆分，抓住構成問題的各個因素與整體問題間的關系以及在整體間的作用，直接列出式子解題的方法.解題中，適當運用整體思想，能使問題巧妙解決.

【例2】 求（sin2θ+6sinθ+3）(8+6sinθ-cos2θ)-2sin2θ-12sinθ-3的最值(θ∈R).

分析：記原式為y，令x=sin2θ+6sinθ+3=(sinθ+3)2-6，得-2≤x≤10，有y=x(x+4)-2x+3=(x+1)2+2

當x=-1，即sinθ=5-3時，ymin=3;

當x=10，即sinθ=1時，ymax=123.

整體思維是一種較高級的思維活動，它更具有思維的簡約性和跳躍性.這就要求教師在平時的教學中，必須充分把握教材中的整體因素，不失時機地滲透整體思想，由淺入深地展開整體思維訓練，方能收到較好的教學效果.

三、求同思維

思維的變通性也稱為應變能力，它是以思維的深刻性和思維的多向性為基礎的，思維的發散度越高，思維的變通性也越好.

【例3】 f(x)=mx2+8x+4的定義域為R，求m的取值范圍.

解：由題意mx2+8x+4≥0在R上恒成立得

m＞0且Δ≤0，得m≥4.

變式1：f(x)=log3mx2+8x+4的定義域為R，求m的取值范圍.

解：由題意mx2+8x+4＞0在R上恒成立得

m＞0且Δ＜0，得m＞4.

變式2：f(x)=log3(mx2+8x+4)的值域為R，求m的取值范圍.

解：令t=mx2+8x+4，則要求t能取到所有大于0的實數.

當m=0時，t能取到所有大于0的實數 ；

當m≠0時，m＞0且Δ≥0，∴0＜m≤4.

綜上，0≤m≤4.

所謂求同思維是指一個問題有很多可能答案，思維不局限于一個方面，而是向多方面發散，找出的答案越多越好，它有三個特點：流暢性、變通性、獨特性.在數學中，有許多知識是相互聯系又相互區別的，它們異中有同，同中有異，同異結合，在認識、掌握某一知識的過程中，常常是既用求同思維，又用求異思維.綜合應用這兩種不同目標的思維活動，就可以促使學生突破思維定勢的消極影響，使學生既能掌握一般的解題方法，又能靈活地選擇最佳的解題方法.

四、逆向思維

思維是人的理性認識過程，根據思維過程的指向性，可將思維分為正向思維（常規思維）和逆向思維.逆向思維就是按研究問題的反方向思考的一種方式.在解題中從問題的正面思考陷入困境時，從問題的反面思考往往會絕處逢生，使問題迎刃而解.逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性和雙向性，它是克服正向思維的心理定勢，突破舊有思維框架，產生新思維，發現新知識、新解法的重要思維方式.因此，在教學中，特別在數學解題中，應該重視學生逆向思維能力的培養.

【例4】 設f(x)=4x-2?2x+1，求f-1(0)的值.

分析：常見的方法是：先求出反函數f-1(x)，然后再求f-1(0)的值.但只要我們逆用反函數的定義：令f(x)=0，解出的x值即為f-1(0)=0的值.即f-1(0)=0.

在解題中加強學生逆向思維培養，可加深學生對知識的理解，培養學生思維的敏捷性、深刻性和雙向性，克服正向思維的心理定勢，真正有利于解題思路的開拓，促進思維結構的完善.

由此可以看出，跳出習慣性思維，改變思維角度，我們就能做有智慧之人！數學教學決不能拘泥于習慣性思維，從不同角度思考，我們就可以得到不同的解法.通過變換思維角度，還可促使思維渠道的暢通，提高思維的品質.

(責任編輯 金 鈴）