一個常見數學題的類比拓展

對于一些的常見題目，若熟視無睹，則只能是就題論題，簡單累加；若是勤于思考，就可做到舉一反三，掌握一類題的解法.本文以一個常見的題目為媒介，使用類比手法，得到一組結論.

【例】 已知：拋物線y2=2px(p>0)，AB是它的一個動弦（即A、B都在拋物線上），且OA⊥OB（O是坐標原點），證明：弦AB過定點M（2p，0）.

證明過程略.若坐標原點O換成拋物線上的其他任意點，比如C（x0，y0）時，弦AB也過定點.

結論1：拋物線y2=2px(p>0)，AB是它的一個動弦（即A、B都在拋物線上），C（x0，y0）是拋物線上的 一定點，則CA⊥CB是動弦AB過定點M（x0+2p， －y0）的充分必要條件.

證明：先證必要性.由CA⊥CB證AB過定點M（x0+2p， －y0）.

設直線AB的方程是x=my+n，

代入拋物線y2=2px得y2-2pmy-2pn=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

y1+y2=2pm， ①y1y2=-2pn. ②

因為CA⊥CB，所以CA ?CB=0，即(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.

將x1=y212p，x2=y222p，x0=y202p代入上式得

(y21-y20)(y22-y20)4p2+(y1-y0)(y2-y0)=0，

而y1≠y0，y2≠y0，所以(y1+y0)(y2+y0)4p2+1=0，

即y1y2+y0(y1+y2)+y20+4p2=0.

把①②代入上式得－2pn+y02pm+y20+4p2=0，

n=y202p+my0+2p

=x0+my0+2p，

代入直線x=my+n得x=my+x0+my0+2p，即x=m(y+y0)+x0+2p，

也就是動弦AB過定點M（x0+2p， －y0）.

把以上過程反方向推導，即是充分性的證明.

注意到，自圓上任意一點做兩條垂直的弦，另外兩端點的連線恰好是直徑，即過定點圓心，也就是此結論對圓成立.對其他圓錐曲線呢？下面將進一步探討.

結論2：對于橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），點C（x0，y0）是橢圓上的一定點，AB是它的一動弦，則CA⊥CB的充要條件是動弦AB過定點M(c2a2+b2x0，-c2a2+b2y0)（其中c2=a2-b2）.

證明：先證必要性.

當直線AB的斜率不為0時，設直線AB的方程是x=my+n，代入橢圓方程得(b2m2+a2)y2+2b2mny+b2n2-a2b2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

y1+y2=-2b2mnb2m2+a2， ①y1y2=b2n2-a2b2b2m2+a2. ②

因為CA⊥CB，所以CA?CB =0，即(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.

用x1=my1+n， x2=my2+n，代入上式得

(my1+n-x0)(my2+n-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0，

即(m2+1)y1y2+(mn-mx0-y0)(y1+y2)+(n-x0)2+y20=0.

將①②

代入上式得

(m2+1)b2n2-a2b2b2m2+a2+(mn-mx0-y0)-2b2mnb2m2+a2+(n-x0)2+y20=0，

去分母后整理得(b2m2n2-a2b2m2+b2n2-a2b2)+(-2b2m2n2+2b2m2nx0+2bmny0)+(b2m2n2-2b2m2nx0+b2m2x20+b2m2y20+a2n2-2a2nx0+a2x20+a2y20)=0，

即-a2b2m2+b2n2-a2b2+2b2mny0+bm2x20+b2m2y20+a2(n-x0)2+a2y20=0，

將第2、4、6項放在一起整理得：b2(my0+n)2+a2(n-x0)2+b2m2(x20-a2)+a2(y20-b2)=0.

由x20a2+y20b2=1

得b2(x20-a2)＝-a2y20以及a2(y20-b2)＝-b2x20，將這兩式代入上式得b2(my0+n)2-b2x20-m2a2y20+a2(n-x0)2=0，

b2(my+n-x0)(my0+n+x0)+a2(n-x0+my0)(n-x0-my0)=0，

(my0+n-x0)［b2(my0+n+x0)+a2(n-x0-my0)］=0，

(my0+n-x0)［(b2+a2)n+(b2-a2)my0+(b2-a2)x0］=0，

得my0+n-x0=0③或(b2+a2)n+(b2-a2)my0+(b2-a2)x0=0④.

滿足③時說明直線AB過定點C，此時CA=CB=0，不能說明CA⊥CB，所以只有④式成立，即

(b2+a2)n+(b2-a2)my0+(b2-a2)x0=0，

也就是n=a2-b2a2+b2(my0+x0)，

把它代入直線方程x=my+n得

x=my+a2-b2a2+b2(my0+x0)

=m(y+a2-b2a2+b2y0)+a2-b2a2+b2x0

=m(y+c2a2+b2y0)+c2a2+b2x0.

所以弦AB過定點M(c2a2+b2x0，-c2a2+b2y0).

當直線AB的斜率為0時，可以驗證AB也過定點M .由于以上各步可逆，充分性也成立.

所以原命題得證.

結論3：對于雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），點C（x0，y0）是雙曲線上的一定點，AB是它的一動弦，則CA⊥CB的充要條件是動弦AB過定點M(c2a2-b2x0，-c2a2-b2y0)

.（其中c2=a2+b2）

證明過程與結論2類似.

(責任編輯 金 鈴）