借助編程軟件 求解超越方程

【例】 人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》（必修1）的第三章《函數與方程》的第一節，在“用二分法求方程的近似解”中一道很典型的例題2借助計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確度為0.1）.

教材利用了“二分法”進行解析，可看到，作出對應值表以及每一次“取中點”進行運算縮短零點所在的區間范圍時，即使使用計算器，運算量也很大.其實借助信息技術可以很方便地求出一個方程的近似解.

下面將介紹如何應用Mathematica6.0求方程的近似解.

方法1：利用Mathematica6.0的代數自動求解功能求方程的近似解.

打開Mathematica6.0，執行命令→進行輸入→按下“Shift+Enter”組合鍵即可，具體如下：

ln［1］：＝Solve［2Λx+3*x-7==0，x］

Out［1］=｛｛x→13(7-3Productlog［4321/3log［2］ ］log［2］ ）

｝｝

經過化簡便得到方程2x+3x=7的解的表達式為：73-productln［(432/3)?ln2］ln2.

為了得到此方程的近似解，我們可以輸入命令“N［expr］” （注：表達式的機器精度近似值）和命令“Solve［eqn， var］”（注：解方程）的組合命令即直接輸入命令NSolve［lhs==rhs， var］（注：求方程數值解 ），具體如下：

ln［2］:=NSolve［2Λx+3*x-7==0，x］

Out［2］=｛｛x→1.43319｝｝

方法2：利用Mathematica6.0的畫圖功能輔助二分法快速求解.

首先借助Mathematica繪制準確的圖像，使二分法的“無限逼近”更快，同樣，執行命令→進行輸入→ 按下“Shift+Enter”組合鍵即可，具體如圖1：

ln［3］：=Plot［2Λx+3*x-7==0，{x，-2，5}，PlotStyle→｛Black｝］

圖1

由圖1極易看出方程2x+3x=7的解在1~2之間.同時我們還可以改變x的取值范圍，以實現圖像局部放大的目的，例如將橫坐標的取值范圍改為{x，1，2}，就可

得到如圖2所示的局部放大圖像.

ln［4］：=Plot［2Λx+3*x-7==0，{x，1，2}，PlotStyle→｛Black｝］

圖2

由圖2直接就可看出方程2x+3x=7的解在1.4~1.45之間，于是我們就可以從這兒開始“二分法”的“無限逼近”……

當然也可以直接改變x的取值范圍，實現圖像局部放大來進行求解.

將橫坐標的取值范圍改為{x，1.4，1.45}，則有如圖3所示的圖像：

ln［5］:=Plot［2Λx+3*x-7==0，{x，1.4，1.45}，PlotStyle→｛Black｝］

圖3由圖3中的圖像可以看出方程2x+3x=7的解在1.432~1.4434之間.

繼續將橫坐標的取值范圍改為{x，1.432，1.434}，則有如圖4：

ln［6］:=Plot［2Λx+3*x-7==0，{x，1.432，1.434}，PlotStyle→｛Black｝］

圖4

由圖4中的圖像可以看出方程2x+3x=7的解可以近似取1.43318，且方程解的精度已很高.

教學中如果不借助計算機或計算器，雖然也能使學生領悟二分法的思想，并能運用其解決一些簡單問題，但對于較復雜的超越方程的二分法求解，可能更多的是“紙上談兵”法，筆者在教學中采用Mathematica6.0輔助課堂教學，既增加了課堂教學的有效性，又增加了教學的趣味性，效果很好.

(責任編輯 金 鈴）