排列組合的常用解題策略

排列組合是高中數(shù)學(xué)中從內(nèi)容到方法都比較獨(dú)特的一個(gè)組成部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)知識(shí)．因此掌握一些基本的排列、組合問(wèn)題的類型與解法對(duì)學(xué)好這部分知識(shí)很有幫助．本文將介紹幾類排列組合問(wèn)題的常用解題策略．

一、分類分步要弄清

【例1】 由1、2、3、4可組成多少個(gè)自然數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)，最多只能是四位數(shù)）？

解析：組成的數(shù)可分為以下四類：

第一類：一位數(shù)，共有4個(gè)；

第二類：二位數(shù)，可以分為兩步來(lái)完成，先取出十位上的數(shù)字，再取出個(gè)位上的數(shù)字，共有4×4=16個(gè)；

第三類：三位數(shù)，可以分三步來(lái)完成，共有4×4×4=64個(gè)；

第四類：四位數(shù)，可以分四步來(lái)完成，共有4×4×4×4=256個(gè)．

綜上，共可組成4+16+64+256=340個(gè)自然數(shù)．

評(píng)注：合理的分類與分步是兩個(gè)基本原理——分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理最直接的體現(xiàn)，是解決排列組合問(wèn)題的最原始的方法．

二、優(yōu)先法

【例2】 用０，１，２，３，４，５這六個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，有多少個(gè)偶數(shù)？

解析：（1）若末位排０，則有A35個(gè)；（2）若末位不排０，則末位有A12種排法．再排首位，有A14種，再排中間兩位，有A24種，∴末位不是０的有A12A14A24個(gè)．

由（1）（2）知，共有A35+A12?A14?A24=156（個(gè)）.

評(píng)注：元素分析法和位置分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置．若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其他條件.

三、間接法

【例3】 正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè)？

解析：從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有C37種，但其中正六邊形的對(duì)角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線，不能組成三角形，有3條對(duì)角線，所以滿足條件的三角形共有C37-3=32個(gè)．

評(píng)注：對(duì)有限制條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉．當(dāng)從正面直接考慮比較困難、分類較多時(shí)，往往會(huì)考慮事情的對(duì)立面，用間接方式考慮問(wèn)題．

四、先選后排

【例4】 將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少一名教師，則不同的分配方案共有（ ）種．

Ａ．１２ Ｂ．２４ Ｃ．３６ Ｄ．４８

解析：可分兩步進(jìn)行：第一步，先將4名教師分為三組，有C24種分法，第二步，將這三組教師分派到3種中學(xué)任教，有C33種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得不同的分派方案共有C24C33=36種方案．

評(píng)注：對(duì)于排列組合的綜合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進(jìn)行排列的策略，這是乘法原理的典型應(yīng)用．這一點(diǎn)充分體現(xiàn)了CmnAmm=Amn的實(shí)質(zhì)，先組合后排列，從而避免了不必要的重復(fù)與遺漏．

五、插空法與捆綁法

【例5】 男同學(xué)４名，女同學(xué)３名站成一排．

（1）3名女同學(xué)必須站在一起，有多少種不同的排法？

（2）任何兩名女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

解析：（1）由于3名女同學(xué)必須排在一起，可以把她們視為一個(gè)整體與男同學(xué)一起排隊(duì)，這時(shí)是5個(gè)元素的全排列，有A55種排法，再把這3名女同學(xué)內(nèi)部進(jìn)行重新排列，共有A33種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，有A33A55＝720種不同的排法．

（2）先將男生排好，共有A44種排法，再在這4名男生中間及兩頭的5個(gè)空位插入3個(gè)女生，有A35種方法，故符合條件的排法共有A44A35＝1440種不同的排法．

評(píng)注：某些元素要求相鄰的問(wèn)題，常用“捆綁”的辦法：把相鄰或要求在一起的元素捆在一起或看成一個(gè)元素與其他元素排列；然后再松綁，即內(nèi)部再排列．某些元素要求不相鄰的問(wèn)題，常用“插空”的辦法：即先排其他元素，然后在其形成的空位中選出空位排要求不相鄰的元素．

六、消序法

【例6】 由１，２，３，４，５，６，７七個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，其中偶數(shù)字的順序一定，有多少種不同的排法？

解析：本題要求“偶數(shù)字的順序一定”．先設(shè)符合要求的七位數(shù)為x種，再對(duì)每一個(gè)數(shù)中的２、４、６交換位置有A33種方法．由此可得無(wú)“順序一定”之限制的數(shù)有x?A33種；另一方面又知，無(wú)“順序一定”之限制的數(shù)有A77 種.這樣就有x?A33=A77，從而可以解得x=A77A33=840．

評(píng)注：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，常用“除法”消序：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有Ann種，m(m≤n)個(gè)元素的全排列有Amm種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到消序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，則有AnnAmm種排列方法．

七、分配與分組問(wèn)題

【例7】 有8本不同的書．

（1） 平均分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，有幾種分法？

（2） 平均分成四堆，有幾種分法？

（3） 分給甲一本，乙三本，丙、丁各兩本，有多少種分法？

（4） 分給一人1本，一人3本，剩下兩人各2本，有多少種分法？

解析：（1）把甲、乙、丙、丁四個(gè)人看成有固定次序的四個(gè)位置，這樣就可以從8本書中依次取書分給這四個(gè)位置，即符合要求分法有C28C26C24C22=2520種．

（2）沒(méi)有（1）的那種次序，因此，可從有序與無(wú)序的關(guān)系入手考慮．設(shè)符合（2）的條件的分法有x種，則得xA44=C28C26C24C22，解得x=C28C26C24C22A44=105種分法．

（3）與（1）的思考方法類似，容易求得有C18C37C24C22=1680種分法．

（4）先考慮分成無(wú)序的四堆，有C18C37?C24C22A22種方法；再考慮分給四人，有A44種方法；于是可得C18C37?C24C22A22?A44=20160種分法．

評(píng)注：把若干物品（或人）分給幾個(gè)人（或幾個(gè)地方）的問(wèn)題是分配問(wèn)題．把若干人分成幾組或把若干物品分成幾堆，而分成的組或堆都無(wú)區(qū)別標(biāo)志的問(wèn)題，是分組問(wèn)題．

八、隔板法

【例8】 把10本相同的書分給三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室至少有一本，共有多少種不同分法？

解：將10本書排成一排，書之間有9個(gè)空隙，將2塊隔板插入9個(gè)空隙內(nèi)，每一種插法，對(duì)應(yīng)一種分法，故共有C29種分法．

評(píng)注：將個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素，可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為Cm-1n-1種．

九、窮舉法

【例9】 將數(shù)字1、2、3、4填在標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填上一個(gè)數(shù)字，且每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有幾種？

解析：此題的背景是學(xué)生所不熟悉的錯(cuò)排問(wèn)題，不好利用計(jì)數(shù)原理解之．由于數(shù)字個(gè)數(shù)比較少，我們可把符合題意的填法一一列舉出來(lái)．它們是：

由上面的樹(shù)圖可知，共有9種填法．

評(píng)注：對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，元素的個(gè)數(shù)較少的，不妨將所有滿足條件的排列與組合逐一列舉出來(lái)．

十、住店法

【例10】 七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 .

解析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得75=16807種.

評(píng)注：解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù).另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

十一、探索法

【例11】 設(shè){an}是等差數(shù)列，從{a1，a2…，a20}中任取３個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)仍成等差數(shù)列，則這樣不同的等差數(shù)列共有（ ）個(gè).

Ａ．９０ Ｂ．１２０ Ｃ．１８０ Ｄ．２００

解析：３項(xiàng)相鄰的有(a1，a2，a3)，(a2，a3，a4)，…，（a18，a19，a20) 18個(gè)；相隔一項(xiàng)的有(a1，a3，a5)，(a2，a4，a6)，…， (a16，a18，a20)16個(gè)；同理，相隔二項(xiàng)的有(a1，a4，a7)，(a2，a5，a8)，…，(a14，a17，a20) 14個(gè)；…；相隔8項(xiàng)的有(a1，a10，a19)，(a2，a11，a20) 2個(gè)，共有18+16+14+…+2=90個(gè)；又由于上述每個(gè)數(shù)列中的第一、第三項(xiàng)可以互換，如(a1，a2，a3)變?yōu)椋╝3，a2，a1)也滿足要求，故共有90×2=180個(gè)．

評(píng)注：對(duì)于復(fù)雜的情況，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問(wèn)題，需要認(rèn)真分析，從特殊到一般，再給予解決．

十二、等價(jià)命題轉(zhuǎn)化法

【例12】 圓周上有n個(gè)點(diǎn)，過(guò)每?jī)牲c(diǎn)連一條弦，設(shè)這些弦沒(méi)有三條共點(diǎn)的．問(wèn)這些弦在圓內(nèi)有多少個(gè)交點(diǎn)？

解析：兩條弦在圓內(nèi)可能有交點(diǎn)，也可能沒(méi)有交點(diǎn)，由此很難直接從弦與弦的交點(diǎn)入手來(lái)考慮．換一個(gè)角度，如果兩條弦在圓內(nèi)有交點(diǎn)，必涉及圓周上四個(gè)點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成圓的一個(gè)內(nèi)接四邊形，這個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的n個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有C4n個(gè)．

評(píng)注：將陌生、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這是解數(shù)學(xué)題的主要思想方法之一，也是解較難的排列、組合題的重要策略．

應(yīng)該指出的是，以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問(wèn)題的常用方法，并非絕對(duì)的．?dāng)?shù)學(xué)是一門非常靈活的課程，同一問(wèn)題有時(shí)會(huì)有多種解法，要認(rèn)真思考和分析，抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，靈活選擇合理、恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理，方能準(zhǔn)確、迅速地解決問(wèn)題．

(責(zé)任編輯 金 鈴）