略談用換元法證明不等式

換元法是一種基本的數學方法，也是數學通法的主體之一，在數學解題中有著廣泛的應用.許多數學問題中的某些字母或式子通過恰當的換元，能化歸為一個相對簡潔或比較熟悉的問題，有利于問題的解決.以下就換元法在不等式證明中的應用作一闡述.

一、 約束條件下的不等式證明

1.對約束條件進行換元

【例1】 設x2+y2-xy=1，求證:|x2-y2|≤233.

證明:

因為x2+y2-xy=1，

所以(x-y2)2+(32y)2=1.

令x-y2=cosθ，32y=sinθ，

則

x=sinθ3+cosθ，y=23sinθ.

x2-y2=(sinθ3+cosθ)2-(23sinθ)2

=13sin2θ+cos2θ

=233sin(2θ+π3).

從而|x2-y2|≤233 .

【例2】 設x，y∈R且x2-92y2=2，求證:|2x+3y|≥2.

證明: 因為x2-92 y2=2，則

(x+32y)(x-32y)=2，

令x+32y=2t，x-32y＝2t ，則

x=22(t+1t)，y=13(t-1t).

從而|2x+3y|=|(2+1)t+(2-1)1t|=(2+1)|t|+(2-1)1|t|≥2.

2.利用約束條件，對不等式中相關的式子換元

【例3】 設a，b，c∈R+，abc=1，n∈N，證明:(an-1+1bn)(bn-1+1cn)(cn-1+1an)≤1.

證明:因為abc=1， 則bn-1+1cn=bn(1-1bn+an)，cn-1+1an=1an(1+1bn-an).

令an-1+1bn=x，an+1-1bn=y，-an+1+1bn=z，

得an=x+y2，1=y+z2，1bn=z+x2.

故原不等式等價于8xyz≤(x+y)(y+z)(z+x).

由于x+y＞0，y+z＞0，z+x＞0，故x，y，z中至多一個小于0，

當x，y，z中恰有一個小于0時，8xyz≤(x+y)(y+z)(z+x)成立.

當x，y，z全大于0時，由于x+y≥2xy，y+z≥2yz，z+x≥2zx.上述三式相乘，即有8xyz≤(x+y)(y+z)(z+x).

【例4】 已知正數a，b，c滿足a+b+c=3，求證:4a+1+4b+1+4c+1＞2+13.

證明:令4a+1-14a=x，4b+1-14b=y，4c+1-14c=z，

則4a+1=4ax+1.整理得4ax2+2x-1=0.

由于0＜a＜3故12x2+2x-1＞0.注意到x＞0.得x＞13-112，

從而有：4a+1＞13-13a+1.

同理：4b+1＞13-13b+1，4c+1＞13-13c+1

.上述三式相加，注意到

a+b+c=3.

故有4a+1+4b+1+4c+1＞2+13.

二、無約束條件下的不等式證明

1.對不等式中相關式子換元

【例5】 設a、b、c∈R+，求證:ab+c+ba+c+ca+b＞2.

證明:令ab+c=x，bc+a=y，ca+b=z，

則(b+c)x=a，故(a+b+c)x=a(1+x)≥2ax.從而有x≥2aa+b+c.

同理，y≥2ba+b+c，z≥2ca+b+c，

上述三式相加，并注意到等號不同時成立，

有x+y+z＞2

即ab+c+ba+c +ca+b＞2.

2.對不等式中相關式子換元后，轉化為有約束條件的不等式

【例6】 已知: x、y、z∈R+.

求證:xx+y +yy+z+za+x≤322.

證明:令y=xtan2α，z=ytan2β，x=ztan2γ，α、β、γ∈(0，π2).

則tanαtanβtanγ=1 .故tanα、tanβ、tanγ中至少有一個不小于1.

不妨設tanγ≥1.則tanαtanβ≤1，即tanα≤tan(π2-β) .從而0＜α+β≤π2 .

令M=xx+y+yy+z+zz+x，則

M=cosα+cosβ+cosγ

=cosα+cosβ+11+tan2γ

=cosα+cosβ+11+cot2αcot2β

=cosα+cosβ+sinαsinβcos2αcos2β+sin2αsin2β，

由于2（cos2αcos2β+sin2αsin2β)≥(cosαcosβ+sinαsinβ)2=cos2(α-β)，

-π2＜α-β＜π2，

故 cos(α-β)＞0.

從而cos2αcos2β+sin2αsin2β≥22cos(α-β)

.M≤2cosα+β2cosα-β2+2sinαsinβcos(α-β)＝

2cosα+β2?cosα-β2+2［cos(α-β)-cos(α+β)］2cos(α-β).

由于0＜α+β≤π2，-π2＜α-β＜π2

.

故M≤2cosα+β2+22［1-cos(α+β)cos（α-β）］≤2cosα+β2+22［1-cos(α+β)］，

即 M≤-2cos2α+β2+2cosα+β2+2=-2?(cosα+β2-22)2+322≤322.

從而有 M≤322，

即 xx+y+yy+z+zz+x≤322.

(責任編輯 金 鈴）