求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法初探

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)主要內(nèi)容，求數(shù)列的通項(xiàng)特別是遞推數(shù)列的通項(xiàng)是其中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近年來高考中常考的內(nèi)容.現(xiàn)就從中學(xué)階段常見的幾類遞推式入手，淺談求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法．

一、an+1=pan+q(其中p，q是常數(shù))型

一般可用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題．

設(shè)遞推式可化為an+1+x=p(an+x)，

即an+1=pan+(p-1)x， 得x=qp-1 .

∴{an+qp-1}是以a1+qp-1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列．

∴an+qp-1=(a1+qp-1)qn-1，從而求出an．

二、an+1=pan+qn(p，q為常數(shù))型

此類型的基本方法是先轉(zhuǎn)化為類型一再由待定系數(shù)法求得通項(xiàng).

原式可轉(zhuǎn)化為an+1qn+1=pq?anqn+1，令anqn=bn， ①

即bn+1=pqbn+1，則由類型一求出bn，再代入①可求得an．

三、an+1=an+f(n)型

此類型{an}可轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)，其中{f(n)}是可求和數(shù)列，即逐項(xiàng)作差：a2-a1=f(1)，

a3-a2=f(2)，

…，

an-an-1=f(n-1).

將以上式子累加得：an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1).

設(shè)求得f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)，則有an=a1+g(n).

這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法即為迭加法．

四、an+1=anf(n) 型

此類型{an}可轉(zhuǎn)化為an+1an=f(n)，其中{f(n)}是可求積數(shù)列，即可逐項(xiàng)作商如下：a2a1=f(1)，a3a2=f(2)，a4a3，…，anan-1=f(n-1)，

將以上式子兩邊分別相乘，得ana1=f(1)?f(2)?f(3)…f(n-1).

設(shè)求得f(1)?f(2)?f(3)…f(n-1)=g(n)，則有an=a1g(n)，這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法即為迭乘法．

五、an+1=pan+qan-1(p，q為常數(shù))型

此類型可設(shè)an+1+xan=y(an+xan-1)，即an+1=(y-x)an+yxan-1，

∴y-x=p，xy=q

x2+px-q=0.

由一元二次方程可解出x、y的值，構(gòu)造{an+1+xan}等比數(shù)列(公比為 y)，從而可轉(zhuǎn)化為類型一來求通項(xiàng)．

六、

其他類型

【例1】 若數(shù)列{an}滿足a1=12，an=1-1an-1(n≥2，n∈N)，求a2003.

解：n=1，a1=12；

n=2，a2=-1；

n=3，a3=2；

n=4，a4=12；

…

∴{an}是以3為周期的數(shù)列，則a2003=a667×3+2=a2=-1.

【例2】 已知數(shù)列{an}滿足12a1+122a2+…+12nan=2n+5(n∈N)

，求{an}的通項(xiàng)公式.

解：12 a1+122a2+…+12nan=2n+5，

①

12 a1+122a2+…+12n-1an-1=2(n-1)+5(n≥2).

②

兩式相減得12nan=2(n≥2)，即an=12n+1(n≥2).

∴an=14（n=1）；12n+1（n≥2）.

若數(shù)列{an}的遞推公式是an+1=f(an)，則用遞推法求通項(xiàng)的一般方法是：

an=f(an-1)=f(f(an-2))=f(f(f(an-3)))=…

【例3】 設(shè)an+1=a2n，a1=2，求an.

解：∵an+1=a2n，

∴an=a2n-1=(a2n-2)2=(an-2)22=(a2n-3)22=(an-3)23=…=a2n-11=22n-1.

遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法還有很多，比如歸納法、換元祛、特征根法、矩陣法等，無論是高考還是平時(shí)訓(xùn)練中，需要充分利用它們之間的關(guān)系，靈活自如地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將已知數(shù)列變?yōu)槲覀兪煜さ摹⒑?jiǎn)單的等差數(shù)列或等比數(shù)列．

(責(zé)任編輯 金 鈴）