線性代數的應用特性

【摘 要】本文從萌芽、發展的角度觀察、分析線性代數，剖析線性代數的應用特性。由于不拘泥于教材，從歷史發展、思想方法、應用性等方面娓娓道來，自有一種人文情懷蘊含其中，帶領讀者領略線性代數的另一番學科文化面貌。

【關鍵詞】應用性 線性方程組 坐標幾何 結構問題

貫穿數學發展的思想有兩個，即希臘貴族學院式的論證數學與平民化的實用數學。線性代數可以說是從應用中來到應用中去的一門學科，盡管其發展與表達形式，脫離不了歐幾里得經典幾何的模式與影響。

1 從應用中來

公元4世紀我國《孫子算經》中有雞兔同籠問題如下：

“今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各幾何？”

該問題的求解方法有很多，不過，采用列方程組的方法求解是很方便的。設雞和兔的個數分別為和，則可建立如下一次方程組：

x+y=35

2x+4y=94

容易求得x=23，y=25.

無獨有偶，《張丘建算經》中的百雞問題：百錢買雞百只，小雞一錢三只，母雞三錢一只，公雞五錢一只。問小雞、母雞、公雞各多少只？通過建立三元一次線性方程組，可類似求得解。

以上兩例表明，正是實際應用問題刺激了線性代數這一學科的誕生與發展。同時，我國古代天文歷法資料表明，一次同余問題的研究，明顯地受到天文、歷法需要的推動。可以說，歷史上線性代數的第一個問題是關于解線性方程組的問題。

2 坐標幾何促發展

線性代數 （linear algebra） 作為代數學的一個分支，以向量空間與線性映射為研究對象的近代發展，則與法國數學家費馬 （Fermat，1601 — 1665） 和笛卡兒 （Descartes，1596 — 1665） 創立的坐標幾何工作直接相關。因此，線性代數基本上出現于 17 世紀。

從古希臘時代到1600年，幾何統治著數學，代數居于附庸的地位。1600年以后，代數成為基本的數學部門。笛卡爾與費馬提出的坐標幾何改變了數學的面貌，坐標幾何把數學造成一個雙面的工具，幾何概念可用代數表示，幾何的目標，可通過代數達到。反過來，給代數語言以幾何解釋，可以直觀地掌握那些語言的意義。坐標幾何的顯著優點，在于它提供了科學久已迫切需要的數量的工具。

笛卡爾批評希臘人的幾何過于抽象，而且過多地依賴于圖形。在長期的數學家的實踐中，笛卡爾不僅掌握了專門的代數知識，并且看到了在提供廣泛的方法論方面，代數的力量，看到了代數作為一門普遍的科學方法的潛力。因此，他主張采取代數和幾何中一切最好的東西，互相以長補短。他說：“所有人們能夠知道的東西，也同樣是互相聯系著的。”

笛卡爾在用代數解決幾何作圖的問題中，提出了用方程表示并研究曲線的思想，根據方程的次數對曲線分類，取消了希臘人關于判定曲線是否存在以是否可以畫出為判別的標準；接著又提出用同一個坐標軸來寫出兩個不同曲線的方程，并且聯立地解出這兩個方程來求出這兩條曲線的交點。笛卡爾把代數提高到重要地位，這個關鍵思想使人們能夠認識典型的幾何問題并且能夠把幾何形式上互不相關的問題歸在一起，代數給幾何帶來最自然的分類原則和最自然的方法層次，意義重大。因此，體系和結構就從幾何轉移到代數，代數比幾何變得更為重要。當然， 隨后，微積分和無窮級數進入數學，牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）都認為微積分是代數的擴展。比如微積分中研究曲線的各種性質時往往采用“以直代曲”的思想，這里的“直”，自然是一次線性函數所對應的直線，說明了線性方法應用的普遍性。

如果所研究的關聯性是線性的，那么稱這個問題為線性問題。線性代數起源于對二維和三維直角坐標系的研究。 在這里，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力。這就是實數向量空間的第一個例子。 現代線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。一個維數為 n 的向量空間叫做 n 維空間。在二維和三維空間中大多數有用的結論可以擴展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象 n 維空間中的向量，這樣的向量（即 n 元組）用來表示數據非常有效。由于作為 n 元組，向量是 n 個元素的“有序”列表，大多數人可以在這種框架中有效地概括和操縱數據。比如，在經濟學中可以使用 9 維向量來表示 9 個國家的國民生產總值。當所有國家的順序排定之后，比如 （中國， 美國，日本，英國， 法國， 德國，澳大利亞，西班牙， 印度），可使用向量 （v1， v2， v3， v4， v5， v6， v7， v8， v9） 顯示這些國家某一年各自的國民生產總值。這里，每個國家的國民生產總值都在各自的位置上。

因此，線性代數處理的是幾何對象，它的研究對象是向量、向量空間、線性變換和有限維的線性方程組，具體來說是討論矩陣理論、與矩陣結合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科。從這個角度來看的話，可以說線性代數正是代數方法應用于幾何問題的產物。

3 到應用中去

科學以自然規律作為研究對象，亞歷山大·蒲柏有詩贊：

自然和自然法則在黑暗中隱藏。

上帝說，牛頓誕生！于是一片光明。

由于牛頓揭示了自然法則，因此對人類來說，牛頓簡直就是光明的使者。

人們通常將自然問題分為三類：變化問題、結構問題、或然性問題。變化問題就是研究事物變化的規律，研究變化問題的是微積分；或然性問題是研究事物發生的可能性大小，比如買彩票中獎的可能性，或然性問題用概率研究；結構問題就是當時間固定的時候事物之間的關系，結構問題就是代數研究的對象，線性代數是代數中基本也是最重要的內容。因此，為理工科大學生開設的高等數學、概率統計、線性代數等三門數學課程，正是為了分別研究這三類自然問題的。

在科技實踐中，從實際中來的數學問題無非分為兩類：一類線性問題；一類非線性問題。線性問題是研究最久、理論最完善的，我們可以簡單地說數學中的線性問題是最容易被解決的，如微分學研究很多函數線性近似的問題。而非線性問題則可以在一定基礎上轉化為線性問題求解。因此遇到一個問題，首先判定是線性問題還是非線性問題；其次如果是線性問題如何處理，若是非線性問題如何轉化為線性問題。可見線性代數作為研究線性關聯性問題的代數理論的重要性。隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由于計算機的發展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。

法國哲學家、數學家笛卡爾通過三條途徑來研究數學：作為哲學家，作為自然的研究者，作為一個關心科學的用途的人。所以，笛卡爾的科學工作的一個重要之點，就是把科學成果付之應用，為了人類的幸福而去掌握自然。正是由于他的這種思想觀，才會有將代數方法應用于幾何的坐標幾何的誕生，而正是由于坐標幾何的創立，才迎來了數學的新階段，線性代數也才得以發展，因此線性代數具有廣泛的應用特性，也就不足為怪了。

1973年第五屆諾貝爾經濟學獎得主為哈佛大學的教授Wassily Leontief ，他于1949年提出的投入產出模型 （Input-output Analysis） ，就是用線性方程組描述投入產出表所反映的經濟內容的。作為一種科學的方法來說，投入產出法，是研究經濟體系（國民經濟、地區經濟、部門經濟、公司或企業經濟單位）中各個部分之間投入與產出的相互依存關系的數量分析方法。

總之，線性代數方法是指使用線性觀點看待問題，并用線性代數的語言描述它、解決它的方法。這是數學與工程學中最主要的應用之一。

舉個例子，線性代數中的一個重要概念是線性空間：

定義 非空集合中的元素，若對“加法”和“數乘”運算滿足八條規律，則稱該集合為線性空間，其元素稱為向量，滿足八條規律的運算稱為線性運算。

也就是說，只要滿足那么幾條公理，我們就可以對一個集合進行線性化處理。可以把一個不太明白的結構用已經熟知的線性代數理論來處理，如果我們可以知道所研究的對象的維數（比如說是n），我們就可以把它等同為。足見線性代數作為結構工具的威力！

線性代數的含義隨數學的發展而不斷擴大。線性代數的理論和方法已經滲透到數學的許多分支，在各種代數分支中占據首要地位。在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其理論和算法基礎的一部分。

總之，隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由于計算機的發展，線性化了的問題又可以計算出來，因此，線性代數成為解決這些問題的有力工具。

值得強調的是，線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數學訓練、增益科學智能是非常有用的。

瑞典著名數學家L.戈定（Garding）說過，沒有掌握線性代數的人簡直就是文盲。他在自己的名著《數學概觀》中說：要是沒有線性代數，任何數學和初等教程都講不下去。按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的。它是第二代數學模型，其根源來自于歐幾里得幾何、解析幾何以及線性方程組理論。如果不熟悉線性代數的概念，像線性性質、向量、線性空間、矩陣等等，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多，甚至學習社會科學也是如此。

【參考文獻】

［1］（美）莫里斯·克萊因. 古今數學思想. 上海科學技術出版社，2006.

［2］同濟大學數學系編. 線性代數. 北京：高等教育出版社，2007.

［3］ （瑞典）L.戈定，胡作玄譯. 數學概觀.科學出版社，2001.