RMI原理在中學數學中的應用

化歸法是一種重要的數學研究和解題的方法.化歸就是轉移，是把需要解決的比較困難的數學問題轉化歸結為一個或幾個比較容易解決的新問題或者已經解決的問題，從而達到求解原問題的目的.用思維結構框如圖所示：

化歸法的目的是化繁為簡，化難為易，化未知為已知.化歸法的途徑和手段不固定，沒有固有的模式，需要具體問題具體分析，但在中學數學中，化歸法經常是通過恒等變形或者關系映射反演等原理得以實現.

關系映射反演原理即：關系(Relation)、映射(Mapping)、反演(Inversion)原理，簡稱RMI原理.RMI原理的提出有著堅實的哲學依據，即：世界是一個普遍聯系的有機整體，世界上事物的聯系具有普遍性.反映世界的不同量化模式(即關系結構) 相互之間也具有聯系性，映射就是聯系不同量化模式的基本紐帶.RMI原理是一個十分重要的數學方法和思想，是化歸原則在數學領域中的具體化與形式化，具有聯系各個數學分支體系、解決數學問題的功能.由于RMI原理反映了數學方法的特殊性，因此，在數學方法論的發展史上，它也是一個真正具有數學特色的數學方法.

數學中的關系結構是指彼此之間具有某種或某些數學關系(如代數關系、函數關系、序關系等等)的數學對象的集合.RMI原理在數學中的應用可以這樣描述：對于給定的一個含有目標原象x的原象關系結構系統T，當在 T中不容易或者不能夠直接確定x時，如果能找到一個可定映映射f：T→T*，將T映入映象關系結構系統T*；在T*中通過一定的數學方法去確定目標映象x*=f(x)，然后再通過反演，即相應的逆映射f -1，就可以確定目標原象.通過以下步驟“關系——映射——定映——反演——獲解”的數學解題方法稱之為RMI原理，其思維框圖如下圖所示：

運用RMI原理關鍵是尋求適當的映射與反演.RMI原理在數學領域有著極為廣泛的應用，同時派生出許多具體的數學方法，是較高層次的化歸.應用RMI原理解決中學數學問題常見的情形有以下幾種.

一、方程結構和函數結構

函數和方程在中學數學研究中是密不可分的，函數y=f(x)可以等價地看做是方程f(x)-y=0，當方程f(x，y)=0對于非空數集A中任意一個x0而言，都有唯一確定的一組解

x=x0，y=y0時，它就可以看做是y關于x的一個函數.根據方程和函數之間這一互化的關系，我們可以分別在方程結構和函數結構之間運用RMI原理來解決很多函數與方程的問題.

1.方程結構映射成函數結構

【例1】 已知方程sin2x+cosx+a=0有實數解，求實數a的取值范圍.

2.函數結構映射成方程結構

二、代數結構和三角結構

在中學數學中，以初等函數為映射工具，利用RMI原理，我們可以將一些代數、三角問題分別映射到代數關系結構和三角關系結構當中去，然后再反演回到原結構中來，從而達到求解原問題的目的.

【例3】 已知x是正實數，試證明：(x+1-x)?x＜12 .

三、代數結構和幾何結構

我們經常說，用代數的方法去解決幾何問題或者用幾何的方法來解決代數問題.這實際上是一種利用代數的量與幾何的形的關系來解決問題的一種方法，這種方法本身就是關系——映射——反演(RMI)的一種應用.在中學數學中，有許多代數問題可以通過坐標系尋求映射工具映射到幾何關系結構中去，然后再反演到原來的代數結構中來，從而解決原來的代數問題.而幾何問題也一樣可以映射到代數關系結構中去，然后再反演到原來的幾何結構中來，從而解決原來的幾何問題.

例如，在笛卡兒平面上用有序實數對(x，y)來表示點，它使一個有序實數對(x，y)與幾何中的點構成了一一對應關系.坐標系里點的坐標按某種規則連續變化，那么，平面上的曲線就可以用方程來表示.比如，我們用關于x，y的一次方程來表示直線，用關于x，y的二次方程來表示圓錐曲線.這樣作為原象的幾何圖形便和作為映象的(x，y)及含x，y的方程式建立起對應，這種對應關系是一種映射關系.通常情況下，一個幾何問題在本質上就是某些特定的幾何圖形之間的關系問題，這種幾何圖形之間的關系問題在上述映射關系的對應下便可轉化為代數式的關系問題.要解決圖形之間的關系問題，只須解決代數式的關系問題即可.

1.幾何結構映射成代數結構

【例4】 已知一個半圓的直徑AB =2R，直線l與AB的反向延長線垂直相交于點T，AT=2a(a

求證：AM+AN=AB.

分析：如果用平面幾何的知識來解決這個問題會比較麻煩.要是以AT的中點為坐標原點，射線OB為x軸的正方向建立直角坐標系，這個半圓就可以與方程［x-(a+R)］2+y2=R2建立起對應關系，由MP=MA，NQ=NA知M、N是以A點為焦點，l為準線的拋物線上的點，則可將拋物線與方程y2=4ax建立起對應關系.設半圓與拋物線的交點M(x1， y1)、N(x2， y2)，則要證的結論AM+AN=AB化為∣AM∣+∣AN∣=2a+x1+x2=2R的問題，聯立半圓和拋物線的方程即可得解.

從解題的過程看是解題的關鍵在于如何通過建立直角坐標系將幾何的形與代數的量建立起映射關系，然后利用代數的量解決問題.

2.代數結構映射成幾何結構

【例5】 求函數u=x2+9+x2-10x+29的最小值.

分析：建立直角坐標系，設點A(0，-3)、B(5，2)、P(x，0)，則原來的代數問題就轉化為在x軸上找一點，使得它到A、B兩點的距離之和最小的幾何問題.

這個例題說明，尋求某些代數問題的幾何意義，然后利用幾何圖形的直觀性或者相關的定理和知識來解決這些代數問題，這種通過構造幾何圖形來解決代數的問題的方法也是對RMI原理的一種應用.

四、代數結構和參數結構

換元法是中學數學中一種非常常見的解題方法，是將數學問題映射成參數結構(或代數結構)，通過引入參數(或消參)使得原問題得以解決.換元法也是在中學數學中運用RMI原理的典范.

【例6】 已知(x+2)2+y24=1 ，求x+y的最大值和最小值.

這是一個隱含限制條件的二元函數的最值問題，隱含的限制條件是一個橢圓方程，利用橢圓的參數式方程將原問題進行三角代換，使得這個二元函數問題轉化成只含有一個變量θ的三角函數的最值問題.在中學數學解題中，換元法的形式是多種多樣的，但就其思維結構來講是統一的，都是應用RMI原理的具體表現.

五、復數向量結構與幾何結構

不管是在平面直角坐標系，還是在復平面上，都是用有序實數對(x，y)來刻畫平面中點的位置.在平面內，點與有序實數對是一一對應關系.因為復數集與復平面內所有的點構成的集合形成一一對應關系，復數集與以原點為起點的向量所構成的集合也可以形成一一對應關系，所以我們可以以復數與向量作為映射工具，將一些解析幾何問題分別映射到復數關系結構和向量關系結構中去，然后再反演到原結構中，達到求解原問題的目的.

利用與復數相對應的向量來解決數形結合的問題，特別是解決一些幾何圖形的旋轉、折疊問題，使用這個方法能收意想不到的效果.我們不但可以從解決問題的過程中看到兩部分知識之間的內在聯系，也可以從不同角度分析比較解題方式的差異和運算方法的優劣，這無疑對加強學生對數形結合思想的理解，開拓學生的解題思維都有相當大的促進作用.

【例7】 若Q為拋物線y２＝4ax(a>0)上一動點，A(6a，0)為定點，以A為中心，將AQ按順時針方向旋轉90°到AP，求P點的軌跡方程.

六、應用模型結構和數學模型結構

隨著應用性問題在中學數學中的地位日益提高，在教學中我們既要重視提高學生的解題技巧，培養學生用熟知的數學模型解決數學問題的能力，又要培養學生從實際問題中提煉和構造數學模型的能力和將復雜陌生的問題化歸為簡單熟悉的數學模型來解決實際問題的能力.

根據某些對應法則，通過建模可將一些有關應用模型結構的問題映射成中學數學中常見的問題結構(例如函數結構、數列結構、方程結構、三角結構、不等式結構等)，形成數學模型，在數學模型中找到解決數學問題的方法，得出結論后再反演回到實際問題原型中，從而解決實際問題.這是運用RMI原理解決中學數學問題最典型的內容.

【例8】 A村、B村坐落在一條小河的同側，兩村計劃在河邊共建一座可以供兩村使用的水電站發電，已知A村到河邊的垂直距離為300m，B村到河邊的垂直距離為700m，兩村相距500m，問水電站應該建于何處，使得送電到兩村的電線用料最省?

分析：要解決這個生活問題，必須用數學語言對問題加以描述，轉化為一個數學問題，也是我們常說的數學建模.我們可以把兩個村莊看做是兩個點A、B，而小河則可看做是一條直線l，這樣就可以將原問題轉化為：在一條直線的同側有相距500m的兩點A、B，它們到這條直線的距離分別為300m和700m，求在直線上找一點P，使得∣AP∣+∣BP∣的值最小.這樣一來，利用解析幾何中的距離公式就可以很快求得P點的坐標，最后將P點再反演為水電站的位置即可.

解決這類問題的關鍵在于怎樣把實際問題歸納或抽象為數學問題，而數學建模能力的缺乏是學生在解決應用問題時遇到的最大困難.首先，我們必須弄清實際問題中已知的信息以及這些信息的關系，然后緊扣問題的主要矛盾提出假設，運用數學語言對已知信息進行必要的加工、改述，確定所要建立的數學模型中各種量的關系或圖形之間的關系，最后找到解決數學模型問題的方法時，實際問題也就迎刃而解了.

利用RMI原理研究數學問題，關鍵在于選取適當的映射.RMI原理能揭示數學上兩種關系結構的本質聯系，是一種重要的數學思想方法.要想靈活地在中學數學中應用RMI原理，要求我們熟練掌握數學各分支的知識體系以及各分支之間的聯系和變化，從而使數學各部分知識形成一個完整的整體.使用RMI原理指導學生解題，有助于學生對數學知識的理解，既可用以啟發學生解題的思路、提高學生解題的效率，又可用來指導學生進行數學發現.在中學數學教學中，為了提高學生的數學思維品質和解決問題的能力，我們要注重培養學生運用RMI原理的意識和能力.

(責任編輯 金 鈴）