吃透分步原理突破排列組合

分步計數原理又稱為乘法原理，是組合數學中的一個重要公式.很多學生在學習排列組合時感到困難，在很大程度上是因為他們對這一原理理解不深，不能靈活應用.只要學生能吃透這一原理，達到理解準確透徹，運用熟練靈活的程度，就能突破學習排列組合的難點.

乘法原理：Si(i=1，2，…，m)，|S|表示集合S的元素的個數，

S=S1×S2×…×Sm={(a1，a2，…，am）|ai∈Si，i=1，2，…，m}

，則有|S|=∏mi=1|Si|.

乘法原理在現行中學教材中稱為分步計數原理，敘述如下：

完成一件事需要分成n個步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，…，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有m1?m2?…?mn種不同的方法.

下面著重討論分步計數原理應用中的兩類問題.

一、重復計算問題

很多學生認為只有在應用分類計數原理時才會出現重復計算的問題.其實，在應用分步計數原理時也同樣存在重復計算的問題，這類重復問題主要是由于對分步計數原理理解不深，在對一件事進行分步的時候，各步驟的方法不獨立而造成的.學生對這類重復問題既不易發現又難以理解.

【例1】 從5雙不同的鞋子中任意取出4只，其中至少有2只配成1雙的不同取法有多少種？

解：第一步，從5雙不同的鞋子中任意取出1雙，有C15種不同的方法；

第二步，從剩下的8只鞋子中任意取出2只，有C28種不同的方法.

根據分步計數原理，符合條件的取法共有

C15?C28=140種.

分析：上述計算結果包含了重復的取法，因而是錯誤的.設其中的2雙鞋子分別是A1、A2和B1、B2，則第一步取到A1、A2，第二步取到B1、B2的結果，與第一步取到B1、B2，第二步取到A1、A2的結果是相同的，但在上述解法中被當作兩種不同的取法來計算，從而犯了重復計算的錯誤.

在分步計數原理中，完成一件事的兩種方法，只要其中任何一個步驟的方法不同，就被當做兩種不同的方法來計算.這是檢驗分步是否正確，計算是否重復的標準.

解法一：（直接法）符合條件的取法分為兩類：

第一類，取出的4只鞋子中恰有2只配成1雙的取法有

C15?C24?C12?C12種不同的方法；

第二類，取出的4只鞋子配成2雙的取法有C25種不同的取法；

根據分類計數原理，符合條件的取法共有

C15?C24?C12?C12+C25=130種.

解法二：（間接法）從5雙不同的鞋子中任意取出4只，不同的取法共有C410種，其中取出的4只不能配成1雙的取法有

C45?C12?C12?C12?C12種.

因此，符合條件的取法共有

C410-C45?C12?C12?C12?C12=130種.

二、巧用“分步”搭橋，溝通“未知”與“已知”，化難為易

“轉化”是很重要的數學思想方法.排列組合中有很多問題是相互聯系的，像“分組問題”，“定序排列問題”，“不盡相異元素的排列問題”，“環狀排列問題”等，都可以通過巧妙的分步轉化為一些已知的比較簡單的問題來解決.這樣的處理方法不僅能收到化難為易的效果，還能培養學生用聯系的觀點看問題，用轉化的方法解決問題.

【例2】 （1）把6本不同的書分配給甲、乙、丙三人，每人2本，有多少種不同的分配方法？

（2）把6本不同的書平均分成3份，每份2本，有多少種不同的分法？

解：（1）按分步計數原理可得，不同的分配方法共有

C26?C24?C22=90種.

（2）設符合條件的分法共有x種.

把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本，完成這件事可以分成兩步進行.

第一步，把6本不同的書平均分成3份，有x種方法；

第二步，把分成的3份分配給甲、乙、丙3人，每人1份，有A33種方法.

根據分步計數原理和（1）中的結果可得x?A33=C26?C24?C22，

∴x=C26?C24?C22A33=15種.

【例3】 6人排成一排，其中甲、乙、丙3人的次序一定，有多少種不同的排法？

解：設符合條件的排法共有x種.若去掉“甲、乙、丙3人的次序一定”這一條件限制，則上述x種排法中的每一種排法都可以變成A33種不同的方法.而去掉“甲、乙、丙3人的次序一定”這一條件限制，問題就轉化為6個元素的全排列.因此x?A33＝A66，

∴x=A66A33

=120種.

【例4】 某實驗室有A型的血液2瓶，B型的血液3瓶，AB型的血液1瓶，O型的血液4瓶，同型的血液沒有區別.把這些血液排成一排，有多少種不同的排法？

解：設不同的排法有x種.

若把題中的2瓶A型血液替換成2個不同的事物，則上述x種排法中的每一種排法都可以變成A22種不同的排法；同理，若把題中的3瓶B型血液替換成3個不同的事物，則上述x種排法中的每一種排法都可以變成A33種不同的排法；若把題中的4瓶O型血液替換成4個不同的事物，則上述x種排法中的每一種排法都可以變成A44種不同的排法.而經過上述替換之后，問題就轉化為10個不同元素的全排列.因此，x?A22?A33?A44=A1010，

∴x=A1010A22?A33?A44=10!2!×3!×4!.

以上三例的解法是把未知的問題作為某個已知的問題的一個步驟，從而化未知為已知，收到了化難為易的效果.這種方法是組合數學中的一種比較典型的處理問題的方法.

(責任編輯 金 鈴）