認(rèn)清圖象信息的物理意義是利用圖象解題的關(guān)鍵

《中學(xué)物理》2012年第3期第73頁刊載了《例談“利用圖象巧解題”》一文（以下簡稱“原文”），現(xiàn)對(duì)原文關(guān)于“例1、例2”的解法提出商榷，以期拋磚引玉。

一、原文對(duì)“例1、例2”的解析

【例1】 如圖1所示，小滑塊m從靜止開始沿光滑斜面由A滑到C，經(jīng)歷的時(shí)間為t1，如果改由光滑曲面滑到C，則經(jīng)歷的時(shí)間為t2，關(guān)于t1和t2的大小關(guān)系，正確的是（ ）。

解析：滑塊由斜面由A滑到C，按題意是做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，作出其圖如圖2中的直線a所示；滑塊沿曲面下滑時(shí)，在AD段加速度大于沿斜面下滑的加速度，在DC段又小于在斜面上的加速度，其圖線的定性示意圖如圖2中的曲線b所示，因?yàn)槎呶灰葡嗤瑘D線與坐標(biāo)軸圍成的面積相同，從圖2中很容易看出t1>t2，選項(xiàng)A正確。

【例2】 老鼠離開洞穴沿直線前進(jìn)，它的速度與到洞穴的距離成反比。當(dāng)它行進(jìn)到離洞穴距離為d1的甲處時(shí)速度為v1，試求：（1）老鼠行進(jìn)到離洞穴距離為d2

解析：（1）由速度與距離成反比，v=kd，又有v1d1=v2d2，得乙點(diǎn)速度v2=d1d2v1；

（2）如圖3所示，所需時(shí)間即畫斜線的梯形面積，t=12(d1+d2)(1v2-1v1 )，將v2=d1d2v1代入得：t=d22-d212d1v1。

二、兩點(diǎn)商榷

1.原文誤讀了圖2中圖線b的物理意義

由于沿曲面ADC滑下時(shí)物體做曲線運(yùn)動(dòng)，其速度的大小和方向都隨時(shí)間變化，因此，圖2中圖線b應(yīng)該是描述滑塊的速率隨時(shí)間變化的關(guān)系，這才是圖2中圖線b的物理意義。因此“b圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積”的物理意義是：滑塊沿曲面ADC滑下所經(jīng)過的“路程”，并不是原文所說的“位移”。因而b圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積應(yīng)大于a圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積，符合這一條件的定性的圖線在圖4中b、c、d均有可能，即t1>t2、t1=t2、t1

下面我們“準(zhǔn)定量”地對(duì)選項(xiàng)D的正確性進(jìn)行論證。

由于原題并沒有給定曲面ADC的參數(shù)，我們可以作一個(gè)并不違反原題條件的極限假設(shè)如下：

圖4設(shè)物塊沿某一曲面AB′C下滑，其中曲面AB′無限接近豎直面AB，而曲面B′C無限接近水平面BC，在B′點(diǎn)為平滑連接。則：

（1）滑塊從A到B′的運(yùn)動(dòng)便無限接近于從A到B的自由落體運(yùn)動(dòng)，可以認(rèn)為經(jīng)過的時(shí)間tAB′=tAB，物體到達(dá)B′的速度大小也就無限接近于到達(dá)B點(diǎn)的速度大小，即vB′=vB;

(2)滑塊從B′到C的運(yùn)動(dòng)便無限接近于從B到C的水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，可以認(rèn)為經(jīng)過的時(shí)間tB′C=tBC。

因此，沿曲面AB′C運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t2=tAB′+tB′C≈tAB+tBC ①

設(shè)斜面傾角為θ，斜面長為L，

由自由落體規(guī)律有：12gt2AB=Lsinθ ②

由機(jī)械能守恒定律有：12mv2B=mgLsinθ ③

由勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：vBtBC=Lcosθ ④

聯(lián)立①②③④式，解得t2=2Lsinθg+Lcosθ2gLsinθ ⑤

物體沿斜面AC下滑的時(shí)間為t1，由初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：12gsinθt21=L，即t1=2Lgsinθ ⑥

比較⑤⑥兩式有：t2t1=sinθ+12cosθ。

根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)可以求得（sinθ+12cosθ）在AC傾角θ取值不同時(shí)，t2t1＞1，t2t1=1，t2t

1＜1均有可能，而這僅僅是不違背題設(shè)的其中的一種假設(shè)。

綜上所述，只要對(duì)一般曲面ADC與極限假設(shè)曲面AB′C的差異作適當(dāng)?shù)恼{(diào)控（而原題對(duì)這一點(diǎn)并未限制），t2t1均有可能，故選項(xiàng)D是正確的。

2.原文對(duì)圖3中“畫斜線的梯形面積”的物理意義的闡述依據(jù)不足原文對(duì)例2第（2）問解答時(shí)，根據(jù)題意畫出了d-1v圖象（如圖3），接著原文立即指出：“所需時(shí)間即畫斜線的梯形面積，t=12(d1+d2)(1v2-1v1)”，對(duì)于這個(gè)關(guān)系，沒有給出推導(dǎo)過程。由于d-1v圖線不是中學(xué)物理中的常見圖象，其圖象中的“面積”沒有一般熟知的物理解釋，因此，一步到位給出上述關(guān)于t的關(guān)系式似太唐突，應(yīng)有必要的文字說明和推導(dǎo)過程。原文所述“畫斜線的梯形面積”是由無數(shù)個(gè)如圖5中畫斜線的豎直條的面積求和而成，這一點(diǎn)根據(jù)中學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備是不難理解的，而當(dāng)Δ(1v)

充分小時(shí)，豎直小條的面積ΔS⊥就用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)d與Δ(1v)乘積代替，即ΔS⊥=d×Δ(1v)，這一點(diǎn)中學(xué)生也能理解，問題是對(duì)ΔS⊥的物理意義進(jìn)行解釋，也就是說d×Δ(1v)表示什么？它雖然有時(shí)間的量綱，是不是一段時(shí)間？對(duì)中學(xué)生來說，有些為難，更不是一目了然的，所以原文把“畫斜線的梯形面積”的物理意義說成是“所需時(shí)間”在中學(xué)物理范圍內(nèi)顯得依據(jù)不足。現(xiàn)在我們考查圖5中畫斜線的橫向小條的面積：ΔS‖=1vΔd=Δdv，由于Δdv對(duì)應(yīng)于發(fā)生極短位移Δd所用的時(shí)間Δt，故ΔS‖=Δt，因而“梯形P1d1d2P2的面積”就是所需時(shí)間t=12(1v1+1v2)(d2-d1)將v1d1=v2d2代入上式，有t=d22-d212d1v1，與原文結(jié)果相同，但顯得依據(jù)充分。

如果將圖3改畫成圖6所示的形式，則在圖6中“圖線P1P2段與下方坐標(biāo)軸所圍成的面積即為從d1到d2所需的時(shí)間”，這樣就更符合中學(xué)物理教材的傳統(tǒng)表述和學(xué)生的思維習(xí)慣。

由上面的討論我們看到，認(rèn)清“圖象信息”的物理意義是多么重要，它是正確利用圖象信息順利解題的前提和關(guān)鍵。其實(shí)，圖象問題千變?nèi)f化，但無外乎“輸入信息畫圖象”和“輸出信息解決問題”兩類，而其中“信息”的物理意義則是“信息的靈魂”，因?yàn)槲锢韴D象不同于數(shù)學(xué)圖線，它一般是與一系列物理過程相對(duì)應(yīng)，受一定的物理規(guī)律所制約，只有對(duì)“圖象信息”的物理本質(zhì)有了透徹的理解，才能在“物理圖象”和“物理過程”的相互“翻譯”中游刃有余。而從本質(zhì)上講，圖象問題就是“圖象”與“過程”的雙向“翻譯”問題。

(責(zé)任編輯 黃春香）