淺析“洛侖茲力做功”問題

我們知道，帶電粒子在垂直于磁場(chǎng)的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，其所受洛侖茲力：f=Bqv，q、v分別為粒子的帶電量和速度，B為所處磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。由于B的方向始終垂直于v的方向，所以我們說(shuō)：洛侖茲力永遠(yuǎn)不做功。然而，我們?cè)谟懻搶?dǎo)體在磁場(chǎng)中做切割磁感線引起的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)，說(shuō)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是由洛侖茲力引起的，這不是意味著洛侖茲力在做功嗎？

下面我們對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行討論。

圖1如圖1所示，光滑U形金屬導(dǎo)軌平面垂直于磁場(chǎng)放置，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里；導(dǎo)體棒MN垂直于導(dǎo)軌橫放其上，接觸良好，有效長(zhǎng)度為L(zhǎng)，回路中的等效電阻為R。當(dāng)導(dǎo)體棒在外力的作用下以恒定的速度v1向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒中的自由電子也以恒定的速度v1向右運(yùn)動(dòng)，自由電子所受洛侖茲力為：f1=ev1B，式中e為電子所帶電量，f1方向如圖1所示由M指向N。在洛侖茲力的驅(qū)動(dòng)下，電子沿MNEF運(yùn)動(dòng)，電流方向?yàn)镹MFE。若將運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體棒看作電源時(shí)，N端為負(fù)極，M端為正極。

顯然，作用在自由電子上的洛侖茲力是一種非靜電力。現(xiàn)以作用在單位正電荷上的洛侖茲力考慮，設(shè)K為作用在單位正電荷上的非靜電力，則K的方向與f1的方向相反，即由N指向M，大小為：K=f1/e=Bv1。

電動(dòng)勢(shì)的定義是把單位正電荷從負(fù)極通過電源內(nèi)部移動(dòng)到正極時(shí)非靜電力所做的功，此時(shí)作用在單位正電荷上的非靜電力K的位移為L(zhǎng)，方向由N指向M，與K方向相同，所以，導(dǎo)體棒MN產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：ε=KL=BLv1。

從上面的分析過程可以看出，電動(dòng)勢(shì)是由洛侖茲力引起的，所以洛侖茲力f1是做功的。

若導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)t時(shí)間，該力做功W1為：W1=Iεt=(ε/R)εt=B2L2v21t/R，式中I=ε/R為回路中的電流。

我們對(duì)此的解釋是：僅認(rèn)為自由電子受洛侖茲力f1是不全面的，因?yàn)樗豢紤]了電子的一種運(yùn)動(dòng)——隨棒運(yùn)動(dòng)，而沒考慮到另一個(gè)運(yùn)動(dòng)——定向移動(dòng)。

現(xiàn)在我們來(lái)分析電子的定向移動(dòng)，看它所產(chǎn)生的效果。

如圖2所示，將導(dǎo)體棒MN隔離出來(lái)，設(shè)導(dǎo)體棒的橫截面積為S，導(dǎo)體棒里面單位體積內(nèi)的自由電子為n，電子的定向移動(dòng)速度為v2，方向由M指向N，則有：I=neSv2，而I=ε/R=BLv1/R，故v2=BLv1/neSR。

電子以速度v2在磁場(chǎng)中定向移動(dòng)，它也必受洛侖茲力，設(shè)為f2，則：f2=Bev2，方向與導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)方向相反。代入v2值，得：f2=B2Lv1/nSR。

導(dǎo)體中自由電子數(shù)為：N=nLS，所有電子所受洛侖茲力總和為：

F=Nf2=B2L2v1/R，方向與導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)方向相反。

考慮導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)t時(shí)間，其位移為v1t，方向與力F方向相反，故力F做的功W2為：W2=-Fv1t=-B2L2v21t/R。

問題到此已經(jīng)明朗化了，綜合前面對(duì)電子的兩種運(yùn)動(dòng)的分析，電子所受洛侖茲力所做的總功為：W=W1+W2=B2L2v21t/R+（-B2L2v21t/R）=0。

對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的全面分析如圖3所示，電子具有隨棒運(yùn)動(dòng)速度v1和定向移動(dòng)速度v2，所受洛侖茲力分別為f1和f2，合速度為v，合洛侖茲力為f，結(jié)果f與v相垂直，合洛侖茲力仍不做功。

合洛侖茲力雖然不做功，但是它的兩個(gè)分力（即前面所述的f1和f2）是做功的。顯然，外力需抵抗分力f2做功（f2做負(fù)功），而洛侖茲力又通過它的另外一個(gè)分力f1做功，從而實(shí)現(xiàn)了外部其他形式（如機(jī)械能）向電能的轉(zhuǎn)化，洛侖茲力總體不做功，它起到的是能量轉(zhuǎn)化的橋梁作用。

自由電子除了上述兩種運(yùn)動(dòng)之外，還有無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)，由于熱運(yùn)動(dòng)向各個(gè)方向的幾率相等，由熱運(yùn)動(dòng)引起的洛侖茲力向各個(gè)方向的幾率也相等，其宏觀效果等于零，所以我們?cè)谏鲜龅姆治鲋袥]有考慮它。

對(duì)于載流導(dǎo)體在磁場(chǎng)中受安培力，而安培力又做功的問題，與此相同，也只是僅考慮了電子的一種運(yùn)動(dòng)，在這種情況下，電子隨棒運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的洛侖茲力阻礙電子的定向移動(dòng)，消耗電能；定向移動(dòng)產(chǎn)生的另一洛侖茲力（宏觀體現(xiàn)即為安培力）做功，從而實(shí)現(xiàn)了電能向機(jī)械能的轉(zhuǎn)化過程，總的洛侖茲力仍然不做功，有興趣的讀者不妨仔細(xì)分析一下。

(責(zé)任編輯 黃春香）