《黃河清“問題導學”教學法》新授課教學課例評析

“黃河清問題導學教學法”新授課教學模式，將教學過程結構分為“五環節”：新課引入—概念形成—概念深化—應用探索—總結歸納，每一個環節的教學組織，都突出實施“問題（啟疑）——猜想（導思）——結論（發現）”的教學思想，通過“問題導學”，使課堂教學發生了重要的變化：教師由“傳授”轉換為“導”，學生由“聽受”轉換為“學”，“教”為重心轉換到“學”為重心，這三種“轉換”體現了現代教學思想的核心，構成了現代教學思想的基本框架.

下面以黃河清老師“正弦、余弦的誘導公式”一節課的教學為例，就“五環節”的實施進行簡要地解讀.（注：教學過程有刪減）

［課例］

一、新課引入

在開始新課前，請同學們先思考一個問題：

問題1：你能求出sin570°的值嗎？

教學思考：新課的問題引入要明確，要簡明扼要.選用最簡單的例子，讓學生易于理解，這是教學上分散難點的有效方法.

sin570°=sin(360°+210°）=sin210°.

誘導公式一的作用就是把任意角的正弦、余弦、正切化為0°~360°之間的角的正弦、余弦、正切.但是怎么求210°的三角函數值卻是我們未知的.

我們可以聯想一下，初中階段我們曾經學過銳角的三角函數值.

問題2：能否找到一個銳角，使210°與這個銳角建立起一種關系呢？

教學思考：知識不是平白無故產生的，需要教師從學生熟悉的“舊”問題中尋找契機，將“舊”問題引到“新”問題上來，促使學生對“新”、“舊”問題進行聯想、類比、發現.

學生可能提出：210°=180°+30°，①

210°=270°-60°.②

教師補充提出：210°=150°+60°.③

問題3：如果要你去研究討論，你會選擇哪一種關系入手？為什么？

教學思考：學生對很多問題可能“知其然”，卻“不知其所以然”，為什么要將問題轉化到形如180°+α的形式來研究，學生是不會去想或者不易想到其中道理的，需要教師去引導、分析其合理性，這是培養學生思維獨立性的重要契機.

（1）直覺上覺得應該研究①②.這是因為180°、270°是終邊落在坐標軸上的角，而坐標軸將平面劃分為四個區域，習慣上任意一個角我們常常用坐標軸來做參照.而150°用做參照與我們習慣上的劃分不一致，所以我們不首選它.

（2）從對稱性的角度看，研究關系①的合理性在于：180°+α角的終邊與α角的終邊關于原點對稱，這給我們的研究帶來了很大的方便.

事實上，對于任意一個0°~360°的角β，我們可以找到一個銳角α，

使β＝α，0°≤β≤90°；

180°-α，90°≤β≤180°；

180°+α，180°≤β≤270°；

360°-α，270°≤β≤360°.

今天我們就來研究180°-α、180°+α、360°-α與α的三角函數關系.

二、概念形成

公式sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα的推導.

不妨選180°+α來作研究.（對180°-α、360°-α的推導方法完全類似）

假設銳角α大小如圖（圖略），我們看180°+α角是怎樣一種情況.

（作圖分析，利用正弦線、余弦線以幾何方法推證公式，略）

得到：sin(180°+α)=-sinα；

cos(180°+α)=-cosα.

三、概念深化

請同學們認真觀察一下這兩個公式，嘗試自己分析、概括這兩個公式的特點.

問題4：你覺得這個公式有什么特點？

教學思考：讓學生自主觀察、分析、抽象、概括，學會下結論，讓學生學會與課本“對話”，這是培養學生思維能力的重要途徑.

（1）角：是復（和）角與單角的關系

（揭示公式的外延，讓學生逐步感受“角的變換”是三角恒等變換核心的特征.）

（2）函數名：是同名函數

（3）符號：保證兩邊同號（可記為“符號看象限”）

（4）角的任意性

問題5：當α是任意角時，公式還成立嗎？

以α為第二象限角為例，作圖（略）.

α的終邊與單位圓交于P(x，y)，依三角函數定義有

sinα=y，cosα=x，

那么，角α的終邊與角180°+α的終邊有何關系呢？

（作圖分析，以代數方法推證公式，略）

反向延長線與單位圓交點為P1，P與P1關于原點對稱，點P1坐標為P1(-x，-y)，sin(180°+α)＝-y，cos(180°+α)=-x，

所以有：sin(180°+α)-sinα；

cos(180°+α)=-cosα.

可以這樣記：函數名不變，符號看象限（把α想成銳角時來記憶）.

（5）數形結合思想

在尋找解決問題的辦法時，角的終邊的對稱形象地為我們準確地寫出對稱點的坐標鋪平了道路，體現了數形結合思想的優越性.這是需要我們重點去學習的.

教學思考：公式的深化理解是新授課的關鍵環節，通過對公式特征的辨析，強化學生對公式內涵和外延的理解，突出公式的本質特征，這對學生來說是一種更高層次的思維訓練，對發展學生的思維品質起著重要的作用.特別地，公式學習的整個過程，體現了很多重要的數學思想方法，而這些思想方法在對公式探究的過程中往往是一種樸素的運用，學生并沒有意識到，而通過這一環節的引導、點撥、分析、總結、提高，學生對這些數學思想方法的作用以及它在解決問題時是怎樣運用的，都會有重新的認識和感悟，從而形成數學的思想、意識，并內化為自己的能力.

（6）公式變式

我們知道，減法是加法的逆運算，因此，180°-α=180°+(-α)，

sin(180°-α)=sin［180°+(-α)］=-sin(-α)，

sin(360°-α)=sin(180°+180°-α)=-sin(180°-α)=sin(-α).

所以我們只要找到-α與α的三角函數關系，就能求出180°-α和360°-α的值.

與推導sin(180°+α)、cos(180°+α)方法相同，設α的終邊與單位圓相交于P(x，y)，角-α的終邊與單位圓相交于P1，這兩個角的終邊關于x軸對稱，所以P1的坐標為(x，-y).又因為r=1，所以sin(-α)=-y，cos(-α)=x，

從而sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα.

與公式（二）類似，這個公式同樣有這些特點：

角：是復（和）角與單角的關系；

函數名：是同名函數；

符號：保證兩邊同號（可記為“符號看象限”）；

公式對任意角α都成立.

有了這兩組公式，就為我們推導后續公式打下了堅實的基礎.下面我們來看看公式的應用.

四、應用探索

1.范例

【例1】求下列三角函數的值：

（1）cos225°；（2）sin1110π.

解：（1）cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=-22.

（2）sin1110π=sin(π+110π)=-sin110π=-sin18°=-0.309.

【例2】求下列三角函數的值：

（1）sin(-π3)；（2）cos(-240°12′).

解：（1）sin(-π3)=-sinπ3==-32.

（2）cos(-240°12′)=cos240°12′=cos(180°+60°12′)=-cos60°12′=-0.497.

【例3】化簡cos(180°+α)#8226;sin(360°+α)sin(-α-180°)#8226;cos(-180°-α).

解：原式=-cosα#8226;sinα-sin(180°+α)#8226;cos(180°+α)=cosα#8226;sinαsinα#8226;cosα=1.

問題6：三個例子各考察了哪些知識、方法？有何啟示？

2.應用練習

（1）求值：2sin(-1110°)-sin960°+2cos(-225°)+cos(-210°).

（2）求值：當θ=5π4時，sin［θ+(2k+1)π］-sin［-θ-(2k-1）π］sin(θ+2kπ)#8226;cos(α-2kπ).

（3）化簡：f(θ)=2cos3θ-sin2(θ+π)-2cos(-θ-π)+12+2cos2(7π+θ)+cos(-θ).

教學思考：不同層次的問題，可以檢查教學目標的達成情況.

五、總結歸納

1.正弦、余弦的誘導公式的特點、作用

2.學習正弦、余弦的誘導公式的啟示

（1）公式的證明我們可以用幾何方法，也可以用代數方法，這種切入點對開拓我們解題的思路是非常重要的；

（2）用代數方法證明公式，利用角的終邊的圖形對稱，給我們準確地寫出對稱點的坐標提供了很大幫助，充分體現了數形結合思想的優越性.

教學思考：通過總結、反思，提高學生的信息素養，包括：高效獲取信息的能力，熟練、批判性地評價信息的能力，有效吸收、存儲、快速提取信息的能力，傳達信息、創造信息的能力，從而將駕馭信息的能力轉化為自主、高效地學習與交流的能力.

3.作業：同步訓練講義

［評析］

本節課的教學，體現了黃河清老師“問題導學”的教學風格，問題的設置“小中見大，虛中見實，畫龍點睛”，很好地引導了學生的思考與學習.我們著重從“五環節”來分析課例在教學上的探索性和創造性.

一、新課引入“高屋建瓴，引人深思”

本節知識是最為普通的一節教材內容，對于這樣的常態課，怎樣才能上出精彩并激發學生更多的思考與參與？很多教師可能最多會提出第一個問題，然后就展開自己的講解，而黃老師不然，我們看他是如何繼續他的問題導學的：

我們可以聯想一下，初中階段我們曾經學過銳角的三角函數值，那么，

問題2：能否找到一個銳角，使210°與這個銳角建立起一種關系呢？

學生可能提出：210°＝180°+30°；①

210°＝270°-60°.②

教師補充提出：210°＝150°+60°.③

教師的目的在于：知識究竟是怎樣發生的？要讓學生了解這一過程，感悟到知識發生發展的合理性與必然性，自主去構建新知識，這就是教師的教學理念——以生發展為本，從學生的認知基礎出發去組織教學.接下來的第三個問題，就更加體現了教師的教學高度.

問題3：如果要你去研究討論，你會選擇從哪一種關系入手？為什么？

在這里，教師讓學生自主去選擇研究的方向，然后再與學生探討各種選擇的合理性，讓學生學會選擇、學會優化，這是數學教學更高層面的思維訓練目標.

面對平凡的教學內容，挖掘出這些訓練的內容，提高訓練的價值，盡可能地讓學生看到新概念、新知識的引進是自然的，甚至是不可避免的，引發學生的探索欲望，激發學生對獲取新知的迫切心理需求，從而開啟學生的積極思考，這正是“問題導學”的重要追求，也是黃老師的高明之處.

二、概念形成“自然合理，主線明確”

“概念形成”是一節新授課的重點，它對學生構建自身的認知結構起關鍵作用.教師在這一環節，著重強化了公式的推導方法，通過圖形、多媒體演示，讓學生看到正確的推理，引導學生理解方法的“合理性”，使學生的認知有循序漸進的發展過程.特別在教學過程中，教師既注重展示對概念認識過程中的正向思維和逆向思維，又講了正確思維及分析了錯誤思維，使“概念形成”主線明晰化，引導學生思維活動步步深入，充分感受到數學思維的合理性與必然性，感悟科學思維方法，提高思維能力.這種概念形成“自然合理，主線明確”的教學追求正是“問題導學”注重探索和實踐的目標之一.

三、概念深化“強調對話，拓展延伸”

“概念深化”是一節新授課的靈魂，它直接影響了學生能否以更高的觀點去看待問題的思維品質的形成，也是教師實施“問題導學”、進行創新實踐最富于挑戰性的一個舞臺.特別是怎樣分析概念的內涵、外延，以此強化學生對概念內涵和外延的理解，突出概念的本質特征；能否用文字、符號、圖形三種語言形式來對概念進行描述；能否對概念問題辨析正誤；能否自主構造例子說明；它涉及哪些數學思想方法；等等，它對發展學生的思維品質起著重要的作用.

在這一環節中，黃老師引導學生分析出了公式的六個方面的特點，深化了學生對公式內涵和外延的認識，這種訓練的價值在于：讓學生學會從不同側面去觀察問題、分析問題，提高學生對問題解決的宏觀意識、整體意識，提升思維的品質.而在這一環節中，黃老師提的兩個問題也獨具匠心.

問題4：你覺得這個公式有什么特點？

讓學生自主觀察、分析、抽象、概括，自主下結論，拓展了學生思維的空間.

問題5：當α是任意角時，公式還成立嗎？

讓學生注重從特殊到一般，培養思維的縝密性.

特別是最后，從數學思想方法的層面引導學生理解和掌握公式推導中所運用的數學思想和方法，這是非常重要的.因為一種習慣就會孕育學生的一種思維方式，當教師在教學中注重引導學生學習知識背景后的數學思想與方法，學生就會逐步形成數學的思想、意識，并內化為自己的能力.

四、應用探索“注重通法，強調變化”

“應用、探索”是一節新授課的關鍵，它對學生能否靈活運用知識關系重大，也是學生數學學習的根本目的之一.這一環節的主要任務是例題的講解、拓展、探究，這是數學教學中強化新知識學習、展示數學思想方法、培養學生能力的重要載體.

在這一環節中，討論完例題后，黃老師提出了“問題6：三個例子各考察了哪些知識、方法？有何啟示？”然后著重從以下幾個方面去引導學生學習：為什么要講這道例題？目的是什么？為什么講了例1還要講例2、例3？從知識角度看，它著重強調什么？從方法層面看，它反映了哪些重要的數學思想方法？有何技巧性？對今后的學習有哪些指導意義？這些，都是教師要通過精心設置問題去引導學生思考的，以此引導學生領悟分析、思考、探索解決問題的思想方法和步驟，提高思維的品質.

五、總結歸納“提升認識，構建網絡”

“總結歸納”是一節新授課的升華，它對學生能否深入理解新知識的重點和關鍵，能否構建起自己的知識網絡，起著十分重要的作用.總結歸納要重點圍繞新知識脈絡、教學重點來設置問題，學習總結什么、怎么總結的方法和策略，以概念和基本方法作為出發點引導學生思考、總結.要教學生學會把教學某一環節中看似孤立，但在整節課中它卻起到聯系和轉化橋梁作用的問題和辦法聯系、總結出來，明確每一種方法的特點，熟記于心，從而實現解題的類化.

本節課黃老師從“正弦、余弦的誘導公式的特點、作用”和“學習正弦、余弦的誘導公式的啟示”兩個層面上去引導學生總結，特別注重圍繞“構建知識網絡”來總結歸納，使學生對學過的知識能清晰、迅速地反映在自己的腦海中，為己所用.

最后特別想指出的，本節課上黃老師十分注重去“讀懂學生”，主要表現在兩個方面：

一是教服從于學.

體現在課堂上他十分注重捕捉與學生溝通交流的機會，能由學生回答的問題他就不自己回答，能由學生個體回答的問題他就不要求集體作答，用教師的信任、鼓勵激發學生對教學活動的主動參與和積極討論.

二是注重學生“二次生成問題”的解決.

在課堂中，無論是研究教師提出的問題，還是在學生回答問題的過程中，黃老師都很注重發現和鼓勵學生提出學習中感到困惑的問題，及時引導學生探索、解決“二次生成的問題”，即學生自己發現的問題，使課堂真正成為師生共同發現、研究、解決問題的過程，培養了學生的問題意識.黃老師認為，創設良好的教學環境，就是在課堂上給學生最多的機會、最好的機會，給每個學生機會.

“問題導學”新授課“五環節”的教學模式，體現了“黃河清問題導學教學法”“以‘問題’為載體，以教師之‘導’為主線，以學生之‘學’為標的”的三個核心要素，它對有效地促進學生學習能力、提高教學效益以及為教師打造個人教學風格和特色提供了一個寬闊的平臺.

(責任編輯金鈴）