新課改高考排列組合的解題思路與技巧

【摘 要】排列組合是高中數學的重點和難點，為后面的概率統計打基礎。這類試題雖然在高考中所占比重不大，但試題都具有一定的靈活性和綜合性，本文就排列組合問題的常見題型的求解方法進行探討。

【關鍵詞】高考 排列組合 解題技巧

排列組合、概率、統計既是高中數學的重要內容，又是銜接初等數學與高等數學的紐帶，它具有內涵豐富、涉及面寬、技巧性強、運算量大、應用廣泛等特點，因而成為歷年高考命題的重點和熱點，在選擇題或填空題等客觀題中必考。明確高考中排列組合與概率統計問題的命題特點，掌握其解題策略，對于在高考數學中取得優異成績顯得尤為重要。排列組合問題，雖然在高考中所占比重不大，但試題都具有一定的靈活性和綜合性，由于有些問題比較抽象，且題型繁多，解法獨特，再加上限制條件，容易產生錯誤。本文就排列組合問題的常見題型的求解方法進行探討。

一、間接法

即部分符合條件排除法，采用正難則反，等價轉換的策略。為求完成某件事的方法種數，如果我們分步考慮時，會出現某一步的方法種數不確定或計數有重復，就要考慮用分類法，分類法是解決復雜問題的有效手段，而當正面分類情況種數較多時，則就考慮用間接法計數。

例1：從6名男生，5名女生中任選4人參加競賽，要求男女至少各1名，有多少種不同的選法？

A.240 B.310 C.720 D.1080 正確答案：B

解析：此題從正面考慮的話情況比較多，如果采用間接法，男女至少各一人的反面就是分別只選男生或者女生，這樣就可以變化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。

二、特殊優先法

特殊元素，優先處理；特殊位置，優先考慮。對于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其他元素和位置。

例2：從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ）

A. 280種 B. 96種 C. 180種 D. 240種 正確答案：D

解析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有C（4，1）=4種不同的選法，再從其余的5人中任選3人從事導游、導購、保潔三項不同的工作有A（5，3）=10種不同的選法，所以不同的選派方案共有 C（4，1）×A（5，3）=240種，所以選D。

三、捆綁法

所謂捆綁法，指在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個整體參與排序，然后再單獨考慮這個整體內部各元素間的順序。注意：其首要特點是相鄰，其次捆綁法一般都應用在不同物體的排序問題中。

例3：5個男生和3個女生排成一排，3個女生必須排在一起，有多少種不同排法？

A.240 B.320 C.450 D.480 正確答案：B

解析：采用捆綁法，把3個女生視為一個元素，與5個男生進行排列，共有 A（6，6）=6×5×4×3×2種，然后3個女生內部再進行排列，有A（3，3）=6種，兩次是分步完成的，應采用乘法，所以排法共有：A（6，6） ×A（3，3） =320（種）。

四、插空法

所謂插空法，指在解決對于某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其他元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。注意：a.首要特點是不鄰，其次是插空法，一般應用在排序問題中；b.將要求不相鄰元素插入排好元素時，要注釋是否能夠插入兩端位置；c.對于捆綁法和插空法的區別，可簡單記為“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”。

例4：若有甲、乙、丙、丁、戊五個人排隊，要求甲和乙兩個人必須不站在一起，且甲和乙不能站在兩端，則有多少種排隊方法？

A.9 B. 15 C. 12 D.20 正確答案：C

解析：先排好丙、丁、戊三個人，然后將甲、乙插到丙、丁、戊所形成的兩個空中，因為甲、乙不站兩端，所以只有兩個空可選，方法總數為A（3，3）×A（2，2）=12種。

五、插板法

所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個元素時，采用將比所需分組數目少的板插入元素之間形成分組的解題策略。需要注意的是其首要特點是元素相同，其次是每組至少含有一個元素，一般用于組合問題中。

例5：將8個完全相同的球放到3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法？

A. 28 B. 24 C.32 D.48 正確答案：A

解析：解決這道問題只需要將8個球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個盒子中即可。因此問題只需要把8個球分成三組即可，于是可以將8個球排成一排，然后用兩個板插到8個球所形成的空里，即可順利的把8個球分成三組。其中第一個板前面的球放到第一個盒子中，第一個板和第二個板之間的球放到第二個盒子中，第二個板后面的球放到第三個盒子中去。因為每個盒子至少放一個球，因此兩個板不能放在同一個空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數是C（8，2）=28種。

總之，排列組合是高中學生感覺難學的內容之一，某些應用問題感到難以下手，而解決這些問題的關鍵在于我們教師選擇適當的方法，探究求解這類問題的策略。以上方法是解決排列組合問題經常運用的方法。因此我們要引導學生總結一些解題的方法，使學生在解題時有法可循。只要在備考復習過程中掌握好技巧和方法，就能提高解題效率。