數學課程標準(2011年版)的重要變化及學習體會(下)

三、從六個核心概念到十個核心概念——反映了課程內容的核心和數學教學的關鍵

修訂稿數學課程標準對實驗稿在“課程設計思路”中提出的六個核心概念“數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識和推理能力”作了調整，共提出十個數學課程與教學應當注重發展的核心概念，包括數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想，以及應用意識和創新意識，并對每一個核心概念都作了較為明確的闡述。這十個核心概念反映了一類課程內容的核心，是學生數學學習的目標，也是數學教學中的關鍵。深刻理解這些核心概念的內涵和價值，有助于教師更好地把握課程目標，深刻理解課程內容，同時對于數學課程內容的選擇和教學方法的改革也有重要的指導意義。

與《實驗稿》相比，在這十個核心概念中，有一些是新增加的：運算能力、模型思想、幾何直觀、創新意識；

有一些是名稱或內涵發生較大變化的：數感、符號意識、數據分析觀念；

有一些是保持了原有名稱，基本保持了原有內涵：空間觀念、推理能力、應用意識。

更進一步，這十個核心概念還可以分成三層。

第一層，主要體現在某一內容領域的核心概念。數感、符號意識、運算能力主要體現在數與代數領域，空間觀念主要體現在圖形與幾何領域，數據分析觀念主要體現在統計與概率領域；

第二層，體現在不同內容領域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想；

第三層，超越課程內容，整個小學數學課程都應特別注重培養學生的應用意識和創新意識。

在這十個核心概念中，《標準》去掉了原來實驗稿中對于數感描述中與運算有關的某些內容，將其獨立為另一個核心概念：運算能力。并強調運算能力首先是會算和算正確；而會算不是死記硬背，要理解運算的道理，還要尋求合理簡潔的運算途徑解決問題等。同時還在教學實施建議中明確指出，基本技能的形成，需要一定量的訓練，但要適度，不能依賴機械的重復操作，要注重訓練的實效性。教師應把握技能形成的階段性，根據內容的要求和學生的實際，分層次地落實。

另外，《標準》將“符號感”更名為“符號意識”，更加強調學生主動理解和運用符號的心理傾向。并將實驗稿中對“空間觀念”描述的最后一條獨立為另一個核心概念“幾何直觀”，并強調幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。除此之外，《標準》對“空間觀念”的闡述基本保持了原來的說法。

《標準》將實驗稿中的“統計觀念”更名為“數據分析觀念”，點明了統計的核心是數據分析。“數據分析觀念”更加突出了統計與概率獨特的思維方法：體會數據中蘊涵著信息；根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性。

《標準》中新增了“模型思想”，說明了模型思想的價值，即建立數學與外部世界的聯系。小學階段有兩個典型的模型“路程＝速度×時間”、“總價＝單價×數量”，有了這些模型，就可以建立方程等去闡述現實世界中的“故事”，可以幫助我們去解決問題。

在研讀《標準》時，要深入理解這十個核心概念的內涵，這樣才能在教學中準確定位，選擇恰當的教學方法，在教學中有效地落實這些核心概念的目標要求。

四、完善了基本理念，明確了重要的學習方式與教學方式，并對學生良好的學習習慣等情感態度目標作了細致描述

《數學課程標準（實驗稿）》提出的數學課程的基本理念總體上反映了基礎教育數學課程改革的方向，在實踐中得到了廣泛認同。本次修訂只是對某些表述進行了修改和完善。

《標準》用“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”來描述義務教育階段數學課程的基本培養目標，取代了原來的“人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”，回避了對“有價值的數學”及“必需的數學”內涵界定不清的質疑。但這樣修改并不是否認“人人學有價值的數學” “人人都能獲得必需的數學”，而是這種表述主要是針對課程內容的選取，強調的是學生所學的內容是否有價值、是否必需。但是，現代教育的基本理念絕不是僅僅針對課程內容而言，而是要得到人的全面發展，因此“人人獲得良好的數學教育”的內涵更為深刻。“人人都能獲得良好的數學教育”更好地反映了數學課程的基礎性與普及性的課程性質，具有廣泛而深刻的含義，它突出強調了是所有學生在數學學習方面應該達到的目標，也是對每一個數學教育者提出的基本要求。同時，也關注到了學生發展的差異性，并提醒數學教育工作者要正視這種差異性，注意因材施教，盡可能滿足不同學生的發展需求，讓每一個學生都能通過自身的努力，在數學學習上獲得不同程度的發展。

《標準》對教與學的基本理念作了統一的表述：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。”強調了學生是數學學習的主體，教學是師生共同參與的過程。《標準》在實施建議中還詳細描述了教師的組織者、引導者與合作者的具體表現，進一步明確了教師的主導作用。

《標準》對學生在數學學習中有效的學習方式作了進一步的明確，強調“認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式”。明確了教師講授與學生自主學習、合作學習并不矛盾，對學生的數學學習同樣重要。在實踐中，我們要學會根據學生的實際情況以及具體的教學內容，選擇合適的學習方式，并能在教學中面向全體學生，注重啟發式教學和因材施教。

另外，《標準》在總目標四個方面中的“情感態度”目標的具體闡述中，進一步明確了學生在數學學習中應該逐步養成的良好的學習習慣——即認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣，并逐步形成堅持真理、修正錯誤、嚴謹求實的科學態度。這些具體要求為教師日常對學生的習慣培養提出了更為明確的努力方向和目標，這樣的目標要求正是著眼于學生未來發展的需要，是一旦形成將使學生終身受益的習慣與態度，我們在教學中一定要認真對待，切實落實。

五、第一、二學段一些數學課程內容的調整與修改更加符合學生的年齡特點以及教學實際，使得數學課程內容的安排更趨合理

《標準》將義務教育階段數學課程內容分為“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”和“綜合與實踐”四個方面。其中，實驗稿中的“空間與圖形”改成了“圖形與幾何”，“實踐與綜合應用”改成了“綜合與實踐”。

1. 在第一、二學段的數學課程內容中，最大的調整就是“統計與概率”這部分內容，內容明顯減少、難度有所降低

統計內容主要變化如下：

第一學段與《標準》相比，最大的變化是鼓勵學生運用自己的方式（包括文字、圖畫、表格等）呈現整理數據的結果，不要求學生學習“正規”的統計圖（一格代表一個單位的條形統計圖）以及平均數（這些內容放在了第二學段）。

第二學段與《標準》相比，在統計量方面，只要求學生體會平均數的意義，不要求學生學習中位數、眾數（這些內容放在了第三學段）。

加強體會數據的隨機性。在以前的學習中，學生主要是依靠概率來體會隨機思想的，《標準》希望通過數據分析使學生體會隨機思想。

這樣調整的原因之一，考慮到義務教育階段統計學習核心是發展數據分析觀念，對于分析數據特征，關鍵是讓學生認識到可以刻畫數據的集中趨勢和離中程度，而不在于學習過多的概念，平均數是一個非常重要的刻畫數據平均水平的統計量，需要學生重點體會；第二，考慮到學生的年齡特征，其他刻畫數據平均水平的統計量不宜集中學習。

概率內容主要變化如下：

第一學段、第二學段的要求降低。在第一學段，去掉了《標準》對此內容的要求。第二學段，只要求學生體會隨機現象，并能對隨機現象發生的可能性大小作定性描述。

明確指出所涉及的隨機現象都基于簡單隨機事件：所有可能發生的結果是有限的、每個結果發生的可能性是相同的。

實踐表明，第一學段學生理解不確定現象有難度，這一學段學生主要應學習和掌握確定的量。因此，這樣的調整符合學生的年齡特點和心理特點以及認知發展規律。

2. “圖形與幾何”部分內容的調整符合學生的年齡特點和認知規律

“能在方格紙上畫出簡單圖形沿水平方向、垂直方向平移后的圖形”、“能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形”從第一學段移到第二學段。經過幾年的實踐表明，第一學段的學生在畫平移后的圖形以及軸對稱圖形這部分內容時，遇到很大的困難和挑戰，需要有一定的空間想象能力才能順利完成，顯然，第一學段的學生的抽象思維能力還沒有發展到這種程度。因此，這樣的調整就顯得尤為必要。

在東、南、西、北和東北、西北、東南、西南中，給定一個方向，辨認其余七個方向，并能用這些詞語描繪物體所在的方向；會看簡單的路線圖。改為：給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨認其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向，能用這些詞語描繪物體所在的方向。這一教學要求的降低符合學生的年齡特征，為學生減輕了學習的困難和負擔。

將面積單位“平方千米”和“公頃”的認識移至第二學段。這兩個面積單位涉及到萬以上的大數，而這部分內容是在第二學段學習的，原來在第一學段學習這部分知識時，學生遇到很大的困難，尤其是換算方面。經過現在這樣的調整，更加符合知識安排的邏輯順序。

3. “數與代數”部分內容的調整體現了這部分數學知識的核心價值

增加了“知道用算盤可以表示多位數”，主要體現了對中國傳統文化的繼承和發揚，但這種對算盤“蜻蜓點水”似的認識，還難以讓學生真正感受到算盤作為我國重大發明的真正意義和價值。

估算的要求調整為“能結合具體情境，選擇適當的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用”，使估算的要求更加具體、明確，有助于學生清楚地認識和理解估算的價值與意義。強調“選擇適當的單位進行簡單估算”，明確了估算的重點一是要有具體的情境，二是在一個確定的情境中，根據實際需要選擇適當的單位進行估算。

增加“在具體情境中，了解常見的數量關系：總價=單價×數量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題”。了解一些常見的數量關系，特別是運用這些數量關系解決問題，是小學階段問題解決的核心。而“總價=單價×數量、路程=速度×時間”是小學階段最常用的數量關系，絕大多數實際問題都可以歸結為這兩類數量關系。增加這兩個數量關系，為小學數學課程與教學中的問題解決提供了一個重要的基礎。

在研讀課程標準的過程中，我們可能最先關注的是什么變了，很少有人去關注什么沒變。研究變化的內容，可以讓我們了解標準修訂的新精神、新思想，也可以幫助我們更好地回顧、反思實驗稿中不夠完善的方面，可以讓我們明確數學課程改革的發展動向。然而，標準是修訂，不是推翻；是完善，不是重建。那些不變的內容，恰恰體現了對數學教育價值的深刻認識，是數學課程改革積淀下來的研究成果，是數學教育中經得起推敲的核心內容。如果能夠用變與不變的思考方式去研究《標準》，或許會讓我們對數學課程與教學的改革有更深刻的理解，并很好地轉化為自己的教學行為，這也許才是我們研讀《標準》的真正意義所在。

在研讀課程標準的過程中，在深入學習基本理念、課程目標以及內容標準的同時，我們一定不要忽視對“實施建議”與“附錄”的學習和研究。“實施建議”中的教學建議與評價建議是我們最為關注的內容，這是在課堂教學中落實《標準》要求的策略引領與方法指導，具有很強的指導意義。容易忽視的是“教材編寫建議”以及“課程資源開發與利用建議”，看似是寫給教材研發者的內容，與教師無直接關系。實際上，這些教材編寫的基本原則、要求和建議，對教師理解教材的設計思想和意圖，體現《標準》的基本理念和思想具有非常重要的幫助，能夠幫助教師打開“課程資源設計與開發”的思路，使教師真正地理解為什么要“用教材教”，而不是“教教材”。附錄中的案例，可以幫助我們更好地理解《標準》的基本理念與內容標準的設計意圖，甚至是教學實踐的優質資源與教學參考。

如何把《標準》中的新理念、新目標更好地落實到我們的教學實踐中，將是今后一段時間數學教育研究的重點內容，必然還有一個對《標準》再學習、再認識、再深化、再反思的過程。數學課程改革，任重而道遠，要“為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎”，使學生“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”，這是每一個數學教育工作者身上都肩負著的沉甸甸的、義不容辭的責任。

編輯魏繼軍