“數(shù)扎根于形”——讓算理不再空洞

2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程內(nèi)容中明確指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。”

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀是通過“幾何”的手段達(dá)到“直觀”目的，實(shí)現(xiàn)“描述和分析問題”的目標(biāo)。

運(yùn)算能力主要是能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確進(jìn)行運(yùn)算的能力，是運(yùn)算技能與思維能力的有機(jī)結(jié)合。運(yùn)算能力的基礎(chǔ)是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律，而掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律的關(guān)鍵是幫助學(xué)生正確理解算理。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，有相當(dāng)部分內(nèi)容是計(jì)算問題，計(jì)算教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生正確理解算理，在實(shí)際教學(xué)中計(jì)算法則的教學(xué)是一條明線，得到了教師重視。在課改之后，教師在算法多樣化的研究上下了很多工夫，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理的理解上卻如蜻蜓點(diǎn)水，導(dǎo)致學(xué)生只知道怎么算，卻不知道為什么要這么算。長(zhǎng)此以往，學(xué)生就不會(huì)去想“為什么”，只知道一些“規(guī)定”的計(jì)算法則，這樣就抑制了學(xué)生思維的發(fā)展。

數(shù)形結(jié)合思想方法是幾何直觀的具體體現(xiàn)，它是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化解決問題的思想方法。根據(jù)小學(xué)生以具體形象思維為主要形式逐步向以抽象邏輯思維為主要形式過渡的思維特點(diǎn)，在小學(xué)階段的計(jì)算算理教學(xué)中利用生動(dòng)形象的圖形使抽象的算理變得形象化；讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不再感到茫然、空洞、枯燥；讓學(xué)生在獲得有趣的情感體驗(yàn)的同時(shí)，主動(dòng)探索感知；讓學(xué)生對(duì)算理的理解透徹，知其然又知其所以然，真正做到用“計(jì)”去“算”。下面就蘇教版六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘除法”和四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”等幾個(gè)案例談?wù)勎沂侨绾谓柚靶巍钡闹庇^闡明“抽象”的算理的。

案例1：《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》

做一朵綢花要米綢帶。小芳做3朵這樣的綢花，一共要用幾分之幾米綢帶？六年級(jí)學(xué)生解決這樣的實(shí)際問題困難的是×3的結(jié)果為什么是？在幫助學(xué)生解決這樣的困難時(shí)，要求學(xué)生先根據(jù)題意自己畫一畫。（見下圖）

在經(jīng)歷了畫圖的過程再次理解題意后，借助圖的直觀，部分學(xué)生很快就能根據(jù)乘法的意義說出×3表示3個(gè)相加，再根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)加法法則可知：分母不變，分子相加。即3個(gè)3相加得9。也有部分學(xué)生這樣理解：把這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)看做1米，把它平均分成10份，其中的3份的長(zhǎng)表示米，計(jì)算×3需要涂3個(gè)，涂色部分的長(zhǎng)一共米，這就是分子乘3而分母不能乘3的道理。真是一箭雙雕，借助圖形學(xué)生不僅理解了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義，同時(shí)也明白了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理：為什么整數(shù)乘分子，分母不變。

案例2：《整數(shù)乘分?jǐn)?shù)》

“小芳做了10朵綢花，其中是紅花，是綠花。紅花、綠花各有多少朵？”

理解“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，為什么可以用乘法計(jì)算”是本節(jié)課的難點(diǎn)，教學(xué)時(shí)我首先引導(dǎo)學(xué)生理解題目中“和”的意義，然后借助圖形分一分。

要求“紅花有多少朵”就是要把10朵花平均分成2份，求其中的1份是幾朵？大多學(xué)生很容易列出這樣的算式：10÷2×1，少數(shù)學(xué)生寫成10×，

要求“綠花有多少朵”就是要把10朵花平均分成5份，求其中的2份是幾朵？學(xué)生很容易列出這樣的算式：10÷5×2；少數(shù)學(xué)生寫成10×。

像10÷2×1和10×、10÷5×2和10×這兩個(gè)算式之間的聯(lián)系，教材沒有充分體現(xiàn)，這就需要教者抓住時(shí)機(jī)捅破這層窗戶紙，展現(xiàn)10÷2×1=10×1÷2=10×、10÷5×2=10×2÷5=10×這樣的演繹過程，加強(qiáng)這兩個(gè)算式之間的聯(lián)系后，教師指出：像這樣“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，可以用乘法計(jì)算”。

案例3：《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》

×。這是分?jǐn)?shù)乘法單元中學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，主要是學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的含義和算法的理解有一定的困難。為了幫助學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義和算法背后的算理”，我是用格子圖去溝通的。具體操作如下：×

師：（出示圖1）你想到了什么分?jǐn)?shù)？

生：涂色部分是整個(gè)長(zhǎng)方形的。

師：（出示圖2）你又想到了什么？

生：灰色陰影表示的，寫成算式是×。

師：這個(gè)乘法算式的結(jié)果是多少呢？先在圖上畫一畫再說出結(jié)果？

生：延長(zhǎng)所有分割點(diǎn)，就是把空白部分也都平均分成5份，就可以看出整個(gè)圖形平均分成15（3×5）份，灰色陰影占整個(gè)圖形的2份（1×2），×的結(jié)果是15份中的2份，即整個(gè)圖形的。

學(xué)生通過自己動(dòng)手畫一畫，豐富了感知，同時(shí)在畫一畫中體會(huì)了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，感知積的分母、分子與兩個(gè)因數(shù)的分母、分子的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生經(jīng)歷了由具體到抽象的過程，對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理的理解就更加深刻。

案例4：《分?jǐn)?shù)除以整數(shù) 》

升果汁平均分給3個(gè)小朋友喝，每人可以喝多少升？

通過畫圖學(xué)生可以看出把平均分成3份，就是求的是多少？學(xué)生已經(jīng)掌握了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，求的是多少可以用乘法計(jì)算：即÷3=×。從而理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理：為什么除以一個(gè)非零整數(shù)等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

案例5：《分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù) 》

一種水果千克元，平均每千克售價(jià)多少元？

審題后學(xué)生很快會(huì)列出算式÷，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)有了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的知識(shí)基礎(chǔ)。所以在列式后放手讓學(xué)生自己計(jì)算，學(xué)生出現(xiàn)了以下計(jì)算方法（只是算法中的一種）：÷=÷3×4。怎么幫助學(xué)生理解這一計(jì)算過程的道理呢？我引導(dǎo)學(xué)生畫出了如下圖形：

借助線段圖追問：÷3 算出了什么？再乘4算的是什么？

學(xué)生看圖后能用自己的語言說出：÷3先算出1份的價(jià)格，再乘4就是4份的售價(jià)。這時(shí)再讓學(xué)生學(xué)習(xí)÷=÷3×4=×4÷3=×的演繹過程。借助圖形這個(gè)“手杖”，學(xué)習(xí)由除法轉(zhuǎn)化成乘法的演繹過程，這樣，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)算理的理解既深刻又持久。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”在計(jì)算教學(xué)中融入數(shù)形結(jié)合的形體表象，容易促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，使學(xué)生的算理、算法的溝通更加深刻，使我們的計(jì)算課不再枯燥，我們的孩子收獲的不僅僅是知識(shí)和技能，也豐富了他們的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，掌握了數(shù)學(xué)思想方法。恰如杜甫的《春夜喜雨》：“好雨知時(shí)節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生。隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無聲。”