學生是怎樣建構數學模型的

在一次調研中，聽了一位教師執教人教版三年級“認識東南西北”一課。本節課的教學內容主要由兩個例題組成。例1呈現的是學生在操場上辨認東、南、西、北四個方向的活動情境，旨在引導學生在已有生活和知識經驗的基礎上，根據學生自身的方位來形成辨認東、南、西、北這四個方向，并感受數學與現實生活的密切聯系。例2呈現的是學生完成校園示意圖的活動情境，旨在引導學生“在圖上表示各建筑物的位置關系”，并通過交流“知道地圖通常是按上北下南，左西右東繪制”的常識。

教師教學例1前，作了三個層次的鋪墊：層次一：請學生根據太陽升起的方位來喚起生活中對“東南西北”四個方位。層次二：在確認黑板的位置為“東”，并貼了“東”這個方位后，請學生說說其他三個方位分別在哪里？并根據學生的回答，黑板上直接呈現右圖。層次三：請學生起立，根據教師說的方位轉動身體面朝相關方向，加深認識。在上述基礎上呈現例1，展開教學。

這樣的教學設計在充分利用學生熟悉的生活場景作為教學資源，喚起學生直接經驗方面是合理的、有效的，但在從生活場景轉換成書面表達的過程中，教師沒有給學生留下足夠的探索空間，基本是以告知的方式呈現結論，強調了對知識結論的機械記憶，降低了學習過程的思維含量，這對學生經歷“東、南、西、北”從生活場景到數學表達的數學化過程是不利的，由此引發如下思考。

一、從生活場景到平面表達，其實是一個建構數學模型的過程

對于三年級的學生來說，在一個具體的生活場景中，根據已經積累的感性經驗，只要找到某一個參照物，如“太陽從東方升起”，“樹的年輪密的方向是北面”等等，學生就能夠辨認“東、南、西、北”四個方向。然而，當需要把一個生動的立體的場景繪制在一個平面上，要求學生用數學的眼光來認識“東、南、西、北”四個方向時，就會存在一定的困難。因為在這個過程中，需要學生經歷兩個層次的策略轉化：一是從生活場景中的“前、后、左、右”的相對性，轉化到書面表達時紙上的“上、下、左、右”的相對性；二是從生活場景中“東、南、西、北”的順時針旋轉方式辨認，轉化到書面表達“東、南、西、北”時順時針旋轉確定方向時方法的應用。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將模型思想作為數學課程內容的一個重要部分，因此，在學生數學思維的發展過程中，數學模型建構的能力成為一項不可或缺的組成部分。無論是數的認識、形的感知、規律的探究、問題的解決，均可以引導學生用數學的思想方法來表達，形成數學的思維結構，建立數學的意識狀態，建構起一定的數學模型。學生對“東、南、西、北”等方向的認識同樣如此，從具體生活場景轉化到書面表達時，其實質同樣是一個數學化、模型化的過程。學生也唯有經歷這樣一個過程，才能將生活場景中對“東、南、西、北”四個方位的認識經驗用到解決數學問題上來。

二、學生是怎樣建構數學模型的

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：“建立數學模型的過程可以是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號表示數學問題中的數學關系和變化規律。”那么，在實際教學中，學生能不能完成“東、南、西、北”四個方位的認識這個數學模型的過程？如果能，又需要通過怎樣的路徑來實現這一過程呢？

一是拉長探索書面表達“東、南、西、北”四個方向的“圖示”（即如本文開頭的圖例）的過程，在充分喚起生活中對“東、南、西、北”四個方向的辨認經驗后，經歷一個對書面表達的自我探索過程，是實現這個目標的基本途徑。

二是在引導學生經歷作業紙上嘗試表達“東、南、西、北”的圖示時，設計三個層次的認識活動作支持。1.激活思維。學生雖然有前期對生活場景中“東、南、西、北”四個方向的辨認體驗，但接下來的任務是把生活場景中的“東、南、西、北”四個方向表示在作業紙上，這是一個具有一定挑戰性的學習任務，需要激起學生思考，調動其學習的注意力與積極性。2.體驗過程。從生活場景中借助直接經驗認識“東、南、西、北”四個方向，到平面表達“東、南、西、北”四個方向的位置關系，這是兩種不一樣的認識方式。一種側重于直觀感知，有時可以借助于直接的操作活動，是一種直觀形象的學習過程。而書面表達更多依賴于思維抽象，需要學生把直觀感知的信息轉換成數學符號，特別是需要借助平面上的“上、下、左、右”與生活場景中的“東、西、南、北”的對應關系，才能準確地完成任務，在認識要求上，遠遠高于生活場景中的認識。因此，對轉化過程的體驗是學生必須經歷的過程。3.形成經驗。有學生的自我探索，就會產生豐富的學習材料，而這些材料正是學生原始思維狀態的暴露，是學生自我認知經驗的產物，這不僅可以為后續教師的有效引導提供依據，同時也為學生形成活動經驗提供保證。

三、數學模型建構中，教師需要給學生提供幫助

對三年級的學生來說，他們對“東、南、西、北”四個方向雖然有一定的生活經驗，但對“東、南、西、北”等方位概念的掌握還比較抽象，需要大量的感性支持和豐富的表象積累。因此，教學中，教師在引導學生經歷數學化的過程時，還需要給學生提供適時、適度的幫助。

1.在提出書面表達的要求前，利用豐富的生活場景引導學生充分體驗。

從教材的編排來看，例1的教學任務是“使學生認識東、南、西、北四個方向，能夠用給定的一個方向辨認其余的三個方向，并能用這些詞語描述物體所在的方向”，直至例2才有書面表達的要求。因此，教師在組織教學時，如同例1對生活場景解讀的教學環節還得拉長，可以多形式組織學生說說生活場景中的“東、南、西、北”。如，教室里的“東、南、西、北”以及“東、南、西、北”各個方向上的物品；結合學生的經驗，想象校園中的“東、南、西、北”以及不同方向上的建筑物；體驗以自身為標準，說說處在自己“東、南、西、北”方向上的同學等等。這些活動的組織，旨在引導學生充分經歷“東、南、西、北”等方向的辨認體驗，幫助學生積累豐富的感性經驗，從而為后續平面表達作準備。

2.借助書面表達情況的反饋交流，在關注多樣性的同時引導學生歸納一般規律。

當學生嘗試完成以某一個方位為標準的“方位圖例”之后，組織學生交流（此時的交流一般先反饋正確的情況），一般會出現如下情況（不足四種也可）：

對于這些結果，不能僅僅簡單地反饋“對”或者“錯”，而在于引導學生對這些圖例作對比解讀，請學生整體觀察后說一說，方位圖中隱藏著怎樣的規律，讓學生發現無論哪一幅圖中，“東與西”、“南與北”均是相對的；“東、南、西、北”四個方向可以以順時針方向來辨認，當確定了“東”之后，順時針辨認依次為“南”、“西”、“北”；同理，當確定了方位“南”之后，順時針辨認依次為“西”、“北”、“東”等等。當然，此時也需要對學生結合自己經驗形成的觀察記憶方法作出肯定。如，在課堂上，當學生以自己面朝的方向為起點，他會說：“當我面朝‘東’時，我的右面是‘南’；當我面朝‘南’時，我的右面是‘西’；當我面朝‘西’時，我的右面是‘北’”。這樣表達顯然是學生自己最能理解的，是其自身認識經驗的提煉，值得肯定。教學也只有引導學生達到這樣的認識層次，才能認為基本建構起“東、南、西、北”的數學模型。

3.提供多樣的場景，加深對“東、南、西、北”四個方位的認識。

當學生初步建立了“東、南、西、北”四個方向的概念之后，教師還需要提供一些場景進行鞏固提升。如，例2根據實際場景在圖紙上表示相關物體及所處的方位。請學生完成后交流，抓住“東、南、西、北”表示在圖例中的相對性及“順時針方向的辨認規律”等知識的體驗進行強化。至此，再說明“地圖通常是按上北下南，左西右東”這樣的方位順序來編制的常識，并結合學生生活的城鎮地圖，請學生以某個場所為標準去說說不同場所的所在方向，就此鞏固認識。

類似于“東、南、西、北”這樣生活氣息很濃的教學內容，在小學數學教學中還有不少。因此，在處理設計這類教學內容時，我們需要思考“如何調動學生思維的參與與活動經驗的數學化提煉，引導學生完成數學化、模型化的過程”等基本問題，最終更好地為學生形成數學經驗服務。

作者單位

浙江省嘉興市南湖區教育研究培訓中心