挖掘課本習題功能培養學生創新能力

摘 要：培養學生數學創新能力是數學教學的根本目的，本文探討如何挖掘課本習題功能，達到培養學生創新能力。

關鍵詞：探求；變式；遷移；引伸。

《義務教育數學課程標準》（2011年）指出：“數學教學中，發展思維能力是培養能力的核心。”為此教師要創設能引導學生主動參與的教育環境，激發學生的學習積極性，培養學生掌握和運用知識的態度和能力。在教學過程中要處理好傳授知識與培養能力的關系，注重培養學生的獨立性和自主性，引導學生質疑、調查、探究，在實踐中學習，使學習成為在教師指導下主動的、富有個性的過程。本人在教學過程中在這方面也做了一定的嘗試，下面就針對課本習題教學談一些粗淺的見解。

一、探求知識，培養學生求異思維

教育家曾經指出：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。因此，數學老師在教學過程中應充分調動學生的思維，引導學生多角度、多層面地思考數學問題，提高學生的解題能力。在課堂設計中，我們要注重把教學任務和課堂講授的趣味性結合起來，優化教學方案，讓學生運用多種方法來解題。這樣不但有利于發揮學生學習的主觀能動性，而且也更有利于培養學生的創新思維能力。

例1 （八年級下冊110頁第9題）

如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別是AB、CD的中點，像EF這樣，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。觀察EF的位置，聯想三角形的中位線的性質，你能發現梯形的中位線有什么性質嗎？證明你的結論。

分析 學生只要能將它轉化為三角形，就容易得出正確結論，即連結梯形的一個頂點和它相對的中位線的端點，并延長交底（上底或下底）的延長線于一點，然后利用三角形全等及三角形中位線定理就可以證明。如果教師在教學中能夠另辟蹊徑，啟發學生根據已有的知識，多角度地對題目進行分析，相信學生經過聯想會得出不同的證明思路。

聯想1：連結對角線

證明一：如圖2，過點E作EF∥BC交DC于F1，根據平行線分線段定理的推論，得F1是DC中點，因為F是DC中點，所以EF1與EF重合，所以EF∥BC。連接AC（或BD）交EF于點M，根據平行線分線段定理得點M是AC中點，所以線段EM是△ABC的中位線，MF是△ADC的中位線，則有ME=BC，MF=AD，結論即可證出。

聯想2：平移腰邊

證明二，如圖3，可證EF∥BC（證法與證法一相同），過A點作AM∥DC交BC于M，交EF于N，則有EN=BM，FN=AD=CM，所以結論即可證出。

聯想3：作高線

證明三，如圖4，可證EF∥BC（證法與證法一相同），分別過A、D作AM⊥BC、DN⊥BC交BC于M、N，交EF于M1、N1，則有EM1=BM，FN1=NC，M1N1=MN=AD，所以結論即可證出。

聯想4：等面積

證明4， 如圖5，可證EF∥BC（證法與證法一相同）設梯形ABCD的高為h，則梯形AEFD與梯形EBCF的高分別都為，

∵S（梯形ABCD）=S（梯形AEFD）+S（梯形EBCF）

∴（AD+BC）·h=（AD+EF）·+（EF+BC）·

即2（AD+BC）=AD+EF+EF+BC

2EF=AD+BC

∴EF=（AD+BC）

通過上述各種證法開拓了學生證題的思路，體現了知識的縱向、橫向的聯系，進一步啟迪學生自覺突破慣性思維的桎梏，變思維的單向性為多向性，培養了學生思維的發散性，提高學生的創新思維能力。

二、變式教學，激發學生發散思維的形成

靈活性是數學課堂的特征之一。數學教學活動要關注學生的個人知識和直接經驗。教學中教師要通過課堂的設計多角度的觸發學生進行思考，培養學生靈活應用既定的定理或公式去解題的思維能力。

例2 （九年級上冊120頁第1題）

如圖6，圓O的直徑CD=10cm，AB是圓O的弦，AB⊥CD垂足為M，0M：OC=3：5，求AB的長。

分析 這實屬一道很普通的習題，但此題若能經過變換，不難發現它有豐富的內涵，下面可把原題改為：

變式1：試問，點M分AB、CD所得四條線段之間有何關系。

變式2：如圖7，若變動CD的位置，使CD不經過點O，則上述變式1結論仍成立嗎？

變式3：如圖8，若變動AB的位置，使AB不垂直CD，則上述變式1結論仍成立嗎？

變式4：如圖9，若變動AB、CD的位置，使CD不經過點O，且AB不垂直CD，則上述變式1結論仍成立嗎？

變式5：如圖10，若變動AB、CD的位置，使點M在圓外，則上述變式1結論仍成立嗎？

變式6：如圖11，若變動AB、CD的位置，使AB為圓的切線，則上述變式1結論仍成立嗎？

通過對同一題型的演變分析，學生的思考也隨之依次深入，學生智慧的火花不斷點燃，從而鍛煉了學生綜合分析的思維能力。

三、遷移知識，促進創造性思維的形成

數學教學的較高境界是實現能力的遷移，即讓學生在學習中能融匯貫通，舉一反三。而能力的遷移應當立足于學生對課本中例題的深入透徹的理解，要實現這一目標，就要求教師在例題教學中，能通過問題的設計，引導學生通過觀察、分析、比較、聯想、概括等一系列探究活動，逐步得出結論，進而實現能力的遷移。

例3 （八年級上冊108頁第11題）

平面內的一條直線可以把平面分成2部分，2條直線最多可以把平面分成4部分，畫圖看看3條直線最多可以把平面分成幾部分，4條直線呢？你能不能想出n條直線最多可以把平面分成幾部分？所得結果是n的函數嗎？

分析 教學講解時，并引導學生從簡單到復雜，從特殊到一般進行觀察，設把平面最多分成m部分，則

當n=1時，m=1+1=2

當n=2時，m=1+1+2=4

當n=1時，m=1+1+2+3=7

當n=4時，m=1+1+2+3+4=11

……

猜想：當直線為n條時，m=1+1+2+3+…+n=1+

顯而易見，通過對例題和習題的潛心挖掘，使題目由一道題變成了一類題，大大提高了雙基容量和靈活性，從而鍛煉了學生思維的廣泛性，提高了舉一反三、觸類旁通的能力，而這正是思維靈活性得到培養和發展的最好體現。

四、延伸知識，提高學生的思維品質。

教育心理學家認為：思維是從提出問題開始的。因此，當一個問題已經得到解決并為學生所充分理解之后，教師應該善于設計問題，引導學生進一步地深入探究，將學生的能力推到更高的層次。這樣既激發了學生探索數學疑難問題的的興趣又提高了學生解決難題的能力，也為單一枯燥的課堂教學注入了一針興奮劑，更有利于培養學生的創新思維能力。

例4 （八年級上冊58頁第11題）

如圖12，△ABD、△ACE都是等邊三角形，求證：BE=DC

分析 本題可通過對題目中條件作適當變化，使題目結論得到進一步引伸和拓廣。

當AB、AC共線時，其它條件不變。

（1）上述結論是否成立？

（2） △ABM≌△AND。

（3）連MN，求證：△AMN是等邊三角形。

（4）求證：MN∥BC。

（5）若BE與CD相交于O，求∠BOD的度數。

（6） 如圖13，若將△ACE繞點A按順時針方向旋轉角度X后，即教材上的練習題，以上結論是否成立，為什么？

（7）若將等邊三角形ABD，等邊三角形ACE均改為等腰三角形或正方形或其它正多邊形，情況又如何呢？試說明理由。

通過類似的教學活動促進學生的創新能力得到逐步的發展，最終達到培養學生創新能力的目的。

總而言之，數學源于生活并服務于生活，培養學生具有分析問題、解決問題的能力是數學教學的終極目標，而創造性思維能力的培養正是數學教材習題設計的意圖。我認為對教材中例題、習題應進行充分研究探索，以發揮它的潛在功能，對提高學生分析問題、解決問題的能力發揮著重要作用。教材中的諸多例題、習題都具有豐富的內涵，在知識轉化為能力上具有示范啟發性；在解題思路和方法上具有典型代表性，挖掘課本習題功能，發散思維舉一反三，觸類旁通這對提高學生分析問題和解決問題的能力，以及培養學生良好的思維方式和創新意識具有積極的促進作用。

參考文獻：

[1]教育部.全日制義務教育《數學課程標準》[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]中學課程教材研究所.義務教育課程標準實驗教科書八年級上下冊、九年級上冊[M].北京：人民教育出版社，2011.