伏安法測定電源電動勢和內阻的誤差分析

在高中物理選修3-1中，書上提供了多種測定電源電動勢和內阻的方法：（1）伏安法（2）變阻箱和伏特表法（3）變阻箱和安培表法。其中伏安法測定電源電動勢和內阻是開設學生分組實驗的首選，也是平時訓練和高考的熱點。分析伏安法測定電源電動勢和內阻的實驗中產生的系統誤差卻是同學們最頭痛的事，下面我就簡單的介紹幾種方法。

一、計算法

伏安法測定電源電動勢和內阻，有兩種連接方法：

（1）電流表外接法（如圖1）：本次實驗是根據公式E=U+Ir進行計算的。理論上，在本次實驗中只要調節滑線變阻器測定兩次U和I，帶入公式中就可以算出E和r.即

E測=U1+I1 r測

E測=U2+I2 r測

可解得：

E測=

r測=

在本次實驗中，從公式E=U+Ir上看，要求電流表測的是干路電流，伏特表測的是電源路端電壓。然而，實際使用的電流表和伏特表都是有電阻的，所以，在本次實驗中伏特表測的是電源路端電壓；而電流表測并不是干路電流，從而產生了系統誤差。真實的干路電流應該是電流表中的電流加上伏特表中的電流，所以真實值的方程式應該是：

E真=U1+（I1+）r真 E真=U2+（I2+）r真

解得：E真= r真=

我們把E測和E真兩式進行比較發現E測

（2）電流表內接法（如圖2）：通過電路圖，我們可以看出：電流表測的是干路電流；而伏特表測的并不是電源的路端電壓。真實的路端電壓應該是伏特表上的電壓加上安培表所分的電壓，所以真實值的方程式應該為

E真=（U1+I1 RA）+I1 r真 E真=（U2+I2 RA）+I2 r真

可解得：E真= r真=-RA

我們把E測和E真兩式進行比較發現E測=E真，而比較r測和r真發現r測>r真。

二、等效電路法

在電學中分析復雜的電路時，我們通常可以畫其等效電路來解決問題，下面我們就通過等效電路的方法來分析該實驗的系統誤差。

（1）電流表外接法時，從圖（1）中可以看出安培表沒有能夠實現測干路中的電流，怎樣才能實現這一目地呢？如果我們把伏特表和電源看成一個整體，構成一個新的電源時，那么安培表就測的是干路電流了，在這個新的電源中伏特表有兩個作用：一、它是一個阻值很大的電阻；二、它可以讀出這個新電源的路端電壓。如圖3所示，從圖中我們可以看出這個新電源的內阻為電源內阻和伏特表的電阻的并聯值，根據串并聯電路的知識：并聯電阻的總阻值小于其中任何一個電阻的值，所以電源內阻的測量值要小于真實值，即r測E測。

（2）電流表內接法時，從圖（2）中可以看出伏特表沒有能夠反應真正的電源的路端電壓，為了使伏特表能夠反應電源的路端電壓。所以，我們把安培表和電源組成一個新的電源，如圖4。由于實際使用的安培表是有內阻的，所以我們進一步進行等效，把安培表的電阻等效到電源內部（如圖5所示），而圖中的電流表則成了一個理想電表，其仍然測的是電路中的干路電流，伏特表測的是新電源的路端電壓，所以我們可以得出E真=E測，而從圖中我們可以發現r測>r真。

三、U-I圖像法

除了上述兩種方法外，我們還可以利用U-I圖像來分析本次實驗產生的系統誤差。在伏安法測定電源電動勢和內阻的實驗中，要求電壓表測定的是電源的路端電壓，而安培表測定的是電路中的干路電流。

（1）電流表外接法時，如圖1所示。根據實驗所得的數據作圖，可以得到圖6中1這條斜直線，然而通過對實驗電路圖的分析可知：伏特表測定的是電源的路端電壓，電流表應該測定的是干路電流，但是其并不是真正的干路電流。干路中真實電流應該是電流表的讀數加上電壓表的電流，即在某一路端電壓下，真實值應該是I真=I測+IV，也即真實電流比實際電流要大，它們的差值ΔI=IV=U/RV。當U等于零的時候，ΔI等于零，即I真=I測，在U-I圖像中，兩條直線在I軸相交于一點，當U增大時，他們的差值ΔI也隨之增大，所以可得出真實值的U-I圖像如圖6中斜直線2所示，我們根據已有的知識知道：在U-I圖像中曲線的斜率代表了電源的內阻；與U軸的交點代表了電源的電動勢，由圖可知：E測

（2）電流表內接法時，我們從圖2中分析可以得出：在實驗中電流表測定的是干路中的電流；而電壓表測的并不是真正的路端電壓，即在某一干路電流下，真實的電壓應是U真=U測+UA，我們發現，U真>U測，而且ΔU=UA=IRA當干路中的電流越小時，ΔU越小，當I=0時U真=U測，所以我們U-I圖像中，U真和U測在U軸上是重合的一個點，所以我們可以從圖像中得出E測=E真，當I增大時，ΔU增大，通過圖像我們可以得出r測>r真。

通過上面的幾種的方法，我們發現：只要緊緊抓住電壓表要求測定的是電源的路端電壓，電流表要求測定的是電源的干路電流這一個要領，然后對電路進行細致的分析，不難得出其真實值和測量值之間的關系。