電磁學(xué)中的對稱性應(yīng)用解析

摘要：本文主要研究在電磁場中存在的對稱性問題，對稱性的種類（轉(zhuǎn)動與平移對稱性，鏡像反演對稱性等）在電磁學(xué)中的應(yīng)用。通過一些具體的實(shí)例應(yīng)用對稱性分析，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，幫助學(xué)生抓住問題的要點(diǎn)，巧用對稱性分析找到解題的捷徑。

關(guān)鍵詞：對稱性；鏡像反演對稱性；發(fā)散性思維；靈感

物理學(xué)中的各種物理現(xiàn)象、物理過程和物理規(guī)律中廣泛存在著一種奇妙而又神秘的對稱性，它顯示出物質(zhì)世界的和諧、優(yōu)美和均衡。應(yīng)用這種對稱性它不僅能幫助我們認(rèn)識和探索物質(zhì)世界的某些基本規(guī)律，而且也能幫助我們?nèi)デ蠼饽承?fù)雜的物理問題，這種思維方法在物理學(xué)中稱為對稱法。利用對稱法分析解決物理問題，往往可以得到一些簡捷的解題方法而免去一些繁瑣的數(shù)學(xué)計算，直接抓住問題的實(shí)質(zhì)，出奇制勝，快速簡便地求解物理問題，從而能夠更清楚地展現(xiàn)物理問題的實(shí)質(zhì)。

學(xué)生通過對稱性問題的思考和研究，學(xué)會應(yīng)用對稱性的方法解決物理問題，在物理問題的探索中能激發(fā)靈感，培養(yǎng)分析物理問題的能力和發(fā)散性思維的能力，提高學(xué)習(xí)物理的興趣，樹立學(xué)好物理學(xué)的信心。有利于提高形象思維能力和建立物理模型的能力，提高處理局部與整體的綜合能力。

對稱性方法可廣泛應(yīng)用于力學(xué)、運(yùn)動學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)以及微觀領(lǐng)域的研究，尤其是對微觀粒子的探索，更是近代物理學(xué)家對其孜孜不倦的理念。如在20世紀(jì)20年代，狄拉克提出每種粒子都有其反粒子，如反中子、反電子、反質(zhì)子等。本文主要從電磁學(xué)方面的應(yīng)用，以三個層次來研究對稱和對稱性相關(guān)問題。一、粒子運(yùn)動軌跡形式的對稱性；二、鏡像反演對稱；三、某些非對稱性問題轉(zhuǎn)化成對稱性問題。

一、粒子運(yùn)動軌跡形式的對稱，即旋轉(zhuǎn)對稱性

一個球體無論怎么轉(zhuǎn)動，看上去都一樣，具有球?qū)ΨQ性；一朵有5個花瓣的花，繞中心軸轉(zhuǎn)過2π/5角，看上去也毫無變化，因而具有2π/5角的旋轉(zhuǎn)對稱性；在各向同性的空間中，繞任意軸或任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，空間也是等價的，具有旋轉(zhuǎn)對稱性。

例1 如圖1所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的半徑為r0。在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強(qiáng)度的大小為B，在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)存在沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速度為零。如果該粒子經(jīng)過一段時間的運(yùn)動之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計粒子的重力，整個裝置在真空中）

解析 該題粒子的運(yùn)動具有周期性，對應(yīng)的軌跡具有對稱性（如圖2所示），所以只要粒子能沿半徑方向進(jìn)入b狹縫，它就能回到S點(diǎn)。根據(jù)對稱性，粒子軌跡半徑等于外筒半徑r0。

二、鏡像反演對稱法

人及物體的左右對稱，就是以中軸面為鏡像的鏡像對稱；一個正三角形以中垂線為對稱也是鏡像對稱的。

例2 如圖3所示為一塊很大的接地導(dǎo)體板，在與導(dǎo)體板相距為d的A處放有帶電量為-q的點(diǎn)電荷。（1）試求板上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度；（2）試求感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外P′點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度（P與P′點(diǎn)對導(dǎo)體板右表面是對稱的）；（3）在本題情形，試分析證明導(dǎo)體表面附近的電場強(qiáng)度的方向與導(dǎo)體表面垂直。

三、一些非對稱性問題可看成若干個對稱問題的疊加后轉(zhuǎn)化成對稱性問題來解決。

在求某處的場強(qiáng)時，電荷如對稱分布，就能運(yùn)用高斯定理，比較方便地求出該點(diǎn)的場強(qiáng)。如果分布不對稱，有時可采用幾個對稱分布場強(qiáng)的疊加。

例3 如圖5所示，在一實(shí)心大球體內(nèi)挖去一個較小的球形孔，余下部分均勻帶電，體電荷密度為ρ，試證明小球形孔內(nèi)為勻強(qiáng)場區(qū)。

解析 挖去的小球形孔可視為電荷體密度分別為ρ和-ρ的兩個小帶電球的復(fù)合體。于是帶電系統(tǒng)為帶電ρ的大球與帶電-ρ的小球的組合。利用均勻帶電球的場強(qiáng)分布，結(jié)合場強(qiáng)疊加原理，即可計算小球孔內(nèi)的場強(qiáng)。

根據(jù)高斯定理，在電荷體密度均勻分布的帶電球的場強(qiáng)為：

為證明小球孔內(nèi)任一點(diǎn)P的場強(qiáng)均勻，可先計算小球球心O′點(diǎn)的場強(qiáng)，再證明小球孔內(nèi)任一點(diǎn)P的場強(qiáng)與O′點(diǎn)的場強(qiáng)相等即可。如圖5所示，根據(jù)高斯定理，O′點(diǎn)的場強(qiáng)為EO′=■a，式中a是O到O′的矢量。小球孔-ρ在O′點(diǎn)的場強(qiáng)為0。在孔內(nèi)任取另一點(diǎn)P，則帶電ρ的大球和帶電-ρ的小球在P點(diǎn)的場強(qiáng)EP1與EP2之和即為P點(diǎn)的場強(qiáng)，即

因任一點(diǎn)P的場強(qiáng)與小球O′點(diǎn)的場強(qiáng)相同，故小球孔內(nèi)為勻強(qiáng)場區(qū)。

從以上幾個電磁學(xué)中的對稱性的例子，分別用空間旋轉(zhuǎn)對稱法、鏡像反演法以及看上去并不對稱的問題，可看成若干個對稱問題的疊加后轉(zhuǎn)化成對稱性問題來解決，這不失為解決問題的一種思路。利用對稱性我們可以不必精確地求解就可以獲得一些知識，使得問題簡化，甚至一些很難的問題也可以迎刃而解。若能從電磁學(xué)中的對稱性例子中真正的體會到了對稱性方法的精髓，對于我們解決一些復(fù)雜的物理問題的時候是非常有幫助的。

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