圓的方程的求法探究

摘要：《圓與方程》是人教版必修二第四章內容，這塊內容是在初中所學圓的有關知識及上一章直線與方程的基礎上，進一步運用解析法研究圓的方程。由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學習了圓的方程，就為高二文科學生學習選修1-1第二章、理科學生學習選修2-1第二章圓錐曲線與方程奠定了基礎。所以，本文內容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多問題中也有著廣泛的應用。同時，圓的方程也是高考的重要考點。由于“圓與方程”內容的基礎性和應用的廣泛性，對圓的方程要求層次是“掌握”，為了激發學生的主體意識，培養學生的應用意識，在教學過程中，主要著眼于“引”，啟發學生“探”，把“引”和“探”有機的結合起來，給學生創造一種思維情境，通過動腦、動手、動口，主動參與學習，激發學生的求知欲，促使學生解決問題。

關鍵詞：圓的標準方程；圓的一般方程；圓的圓系方程；圓心；半徑；待定系數法

確定圓的幾何要素是圓心坐標和半徑，求圓的方程就是求出這兩個幾何要素。根據問題的實際情況，求圓的方程的方法主要是待定系數法和幾何意義法。求解圓的方程，關鍵是對方程中系數的求解，具體是：

若由已知條件易求圓心、半徑，可用圓的標準方程求解；若圓的方程涉及到圓上的幾個點，常用圓的一般方程求解。

求圓的方程主要采用待定系數法，其特點是思路簡明，基本步驟是：第一步，設定所求圓的方程的表達式；第二步，根據題設中的相關條件，引出一組含系數的方程；第三步，解方程組，從而得到圓的方程。

一、利用圓的標準方程求解

例1 已知圓心C為的圓經過點A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0上，求圓C的標準方程。

解法一：（由|AC|=|BC|及C在l上，求出圓心坐標和半徑）

設圓C：（x-a）2+（x-b）2=r2，則

∵C∈l ∴a-b+1=0

∴a=b-1

所以圓心C為（b-1，b）

由圓的定義得|AC|=|BC|，則

所以圓C的方程為：（x+3）2+（y+2）2=25

解法二：（待定系數法）

設圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2，則

因為A、B∈圓C，圓心在直線l上，

所以（1-a）2+（1-b）2=r2（2-a）2+（-2-b）2=r2a-b+1=0

解得a=-3，a=-2，r=5

所以圓C的方程為：（x+3）2+（y+2）2=25

【點評】題設條件中涉及所求圓的圓心或半徑，可以利用待定系數法或通過幾何意義求出圓心和半徑。但從本題顯然可看出用待定系數法解題的優勢是思路清晰，只是解方程組稍繁。

二、利用圓的一般方程求解

例2 求過三點O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圓的方程。

分析：由于O、M、N不在同一條直線上，因此經過O、M、N三點有唯一的圓。

解法一：設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則

F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0

解這個方程組得：D=-8，E=6，F=0

所以所求圓的方程是x2+y2-8x+6y=0。

解法二：直線OM的垂直平分線的方程是x+y-1=0，

直線ON的垂直平分線的方程是2x+y-5=0。

由x+y-1=02x+y-5=0 得x=4y=-3

∴圓心坐標為C（4，-3）

【點評】如果題設條件中涉及所求圓經過某些點，那么，在利用待定系數法時選用圓的一般方程，建立三元一次方程組求解；亦可根據圓的相關幾何性質來求解。

三、利用圓的圓系方程求解

例3 求圓心C在直線l：x-y-4=0上，并且經過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點的圓C的方程。

分析：設出過兩圓交點的圓的圓系方程，表示出圓心，再由圓心在直線l上這個條件解出參數，即可得到所求方程；亦可先求出交點，再根據圓的相關幾何性質來求解。

解法一：設所求圓的方程為：x2+y2+6x-4+λ（x2+y2+6y-28）=0，則

【點評】從本題中可以看出解這類問題運用圓系方程解答明顯方便。記住兩個結論：①過圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直線l：Ax+By+C=0的交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0；②過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和過圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ為參數，且λ≠-1）。

求圓的方程關鍵是求出圓心坐標和半徑，不管題目給出的是什么條件，只要圍繞這些條件列出關于圓的圓心坐標和半徑的方程組，解方程組即可解決問題，同時要注意充分應用平面幾何中關于圓的知識及性質，可以簡化解題過程，這是求圓的方程的常用方法。