圓的方程的求法探究

摘要：《圓與方程》是人教版必修二第四章內(nèi)容，這塊內(nèi)容是在初中所學(xué)圓的有關(guān)知識(shí)及上一章直線與方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用解析法研究圓的方程。由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方程，就為高二文科學(xué)生學(xué)習(xí)選修1-1第二章、理科學(xué)生學(xué)習(xí)選修2-1第二章圓錐曲線與方程奠定了基礎(chǔ)。所以，本文內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多問題中也有著廣泛的應(yīng)用。同時(shí)，圓的方程也是高考的重要考點(diǎn)。由于“圓與方程”內(nèi)容的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性，對(duì)圓的方程要求層次是“掌握”，為了激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，在教學(xué)過程中，主要著眼于“引”，啟發(fā)學(xué)生“探”，把“引”和“探”有機(jī)的結(jié)合起來，給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，通過動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，促使學(xué)生解決問題。

關(guān)鍵詞：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程；圓的圓系方程；圓心；半徑；待定系數(shù)法

確定圓的幾何要素是圓心坐標(biāo)和半徑，求圓的方程就是求出這兩個(gè)幾何要素。根據(jù)問題的實(shí)際情況，求圓的方程的方法主要是待定系數(shù)法和幾何意義法。求解圓的方程，關(guān)鍵是對(duì)方程中系數(shù)的求解，具體是：

若由已知條件易求圓心、半徑，可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解；若圓的方程涉及到圓上的幾個(gè)點(diǎn)，常用圓的一般方程求解。

求圓的方程主要采用待定系數(shù)法，其特點(diǎn)是思路簡明，基本步驟是：第一步，設(shè)定所求圓的方程的表達(dá)式；第二步，根據(jù)題設(shè)中的相關(guān)條件，引出一組含系數(shù)的方程；第三步，解方程組，從而得到圓的方程。

一、利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解

例1 已知圓心C為的圓經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0上，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解法一：（由|AC|=|BC|及C在l上，求出圓心坐標(biāo)和半徑）

設(shè)圓C：（x-a）2+（x-b）2=r2，則

∵C∈l ∴a-b+1=0

∴a=b-1

所以圓心C為（b-1，b）

由圓的定義得|AC|=|BC|，則

所以圓C的方程為：（x+3）2+（y+2）2=25

解法二：（待定系數(shù)法）

設(shè)圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2，則

因?yàn)锳、B∈圓C，圓心在直線l上，

所以（1-a）2+（1-b）2=r2（2-a）2+（-2-b）2=r2a-b+1=0

解得a=-3，a=-2，r=5

所以圓C的方程為：（x+3）2+（y+2）2=25

【點(diǎn)評(píng)】題設(shè)條件中涉及所求圓的圓心或半徑，可以利用待定系數(shù)法或通過幾何意義求出圓心和半徑。但從本題顯然可看出用待定系數(shù)法解題的優(yōu)勢是思路清晰，只是解方程組稍繁。

二、利用圓的一般方程求解

例2 求過三點(diǎn)O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圓的方程。

分析：由于O、M、N不在同一條直線上，因此經(jīng)過O、M、N三點(diǎn)有唯一的圓。

解法一：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則

F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0

解這個(gè)方程組得：D=-8，E=6，F(xiàn)=0

所以所求圓的方程是x2+y2-8x+6y=0。

解法二：直線OM的垂直平分線的方程是x+y-1=0，

直線ON的垂直平分線的方程是2x+y-5=0。

由x+y-1=02x+y-5=0 得x=4y=-3

∴圓心坐標(biāo)為C（4，-3）

【點(diǎn)評(píng)】如果題設(shè)條件中涉及所求圓經(jīng)過某些點(diǎn)，那么，在利用待定系數(shù)法時(shí)選用圓的一般方程，建立三元一次方程組求解；亦可根據(jù)圓的相關(guān)幾何性質(zhì)來求解。

三、利用圓的圓系方程求解

例3 求圓心C在直線l：x-y-4=0上，并且經(jīng)過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)的圓C的方程。

分析：設(shè)出過兩圓交點(diǎn)的圓的圓系方程，表示出圓心，再由圓心在直線l上這個(gè)條件解出參數(shù)，即可得到所求方程；亦可先求出交點(diǎn)，再根據(jù)圓的相關(guān)幾何性質(zhì)來求解。

解法一：設(shè)所求圓的方程為：x2+y2+6x-4+λ（x2+y2+6y-28）=0，則

【點(diǎn)評(píng)】從本題中可以看出解這類問題運(yùn)用圓系方程解答明顯方便。記住兩個(gè)結(jié)論：①過圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直線l：Ax+By+C=0的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0；②過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和過圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ為參數(shù)，且λ≠-1）。

求圓的方程關(guān)鍵是求出圓心坐標(biāo)和半徑，不管題目給出的是什么條件，只要圍繞這些條件列出關(guān)于圓的圓心坐標(biāo)和半徑的方程組，解方程組即可解決問題，同時(shí)要注意充分應(yīng)用平面幾何中關(guān)于圓的知識(shí)及性質(zhì)，可以簡化解題過程，這是求圓的方程的常用方法。