微分中值定理教學芻議

摘 要:微分中值定理是微積分學中一個重中之重的內容。學好了微分中值定理無疑便掌握了整個微積分學的一個關鍵所在。因而，如何教好微分中值定理就顯得很重要了。

關鍵詞:微分中值定理 函數 應用

中圖分類號:O186文獻標識碼:A文章編號:1673-9795(2012)07(a)-0113-01

微分中值定理是羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的統(tǒng)稱，他是整個微分學的理論基礎，許多問題都是由它而解決的。如:建立了求極限的一個簡便而有效的方法—— 羅必塔法則;推導了用多項式逼近函數的臺勞中值定理;解決了微分的近似計算、曲徑的凹凸與拐點、曲率的研究等方面應用問題;同時，給出了積分學中原函數的表示法;證明了微積分學中的一些基本定理;溝通了函數的局部性態(tài)與整體性態(tài)，因此，微分中值定理是微積分學中一個重中之重的內容。學好了微分中值定理無疑便掌握了整個微積分學的一個關鍵所在。因而，如何教好微分中值定理就顯得很重要了。

本文就微分中值定理的教學談談自己的粗淺認識。

1 從不同的角度引導學生，導出微分中值定理

微分中值定理中的拉格朗日中值定理證明的關鍵是引入輔助函數。教材中對輔助函數的引入沒有展示出來。因此，教師在講授時，可從不同角度引導學生觀察思考，提出多種方法，引出輔助函數。

例如:拉格朗日中值定理為:若函數f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，則至少存在一點§∈(a，b)，使得f(§)=fb-f(a)b-a。

分析時，方法1:從幾何方面入手:

設AB的方程為y=f(x)

則弦的方程為y=f(a)+fb-f(a)b-a(x-a)

若在AB上，能找到一符合定理的條件的點P使過點P的切線平行于弦AB，則有y''=Y''

當y''=Y''時，則有(y-Y)y''=0記去Q(x)=y-Y。那么問題就轉化為判定函數Q(x)在區(qū)間(a，b)內是否有導數等于零的點，且(x)=f(x)-［f(a)+fb-f(a)b-a(x-a)］

顯然，(x)滿足羅爾定理的三個條件，因而至少存在一個點§∈(a，b)，使’(§)=0 從而，定理得證。

方法2:倒推法

拉個朗日中值定理的目的是要求證明至少有一個值§∈(a，b)，使得:f’(§)=fb-f(a)b-a，移項f’(§)－fb-f(a)b-a＝0

那么，我們就設一個函數?(x)的導函數

’(x)=f’(§)－fb-f(a)b-a＝0

…………………………(1)

且滿足羅爾定理的條件。

但是，這樣的函數(x)是否存在呢？

我們知道，對任意常數c1和c2有:

[f(x)+ c1]’=f’(x)

[fb-f(a)b-a(x+c2)]’=fb-f(a)b-a

故我們取(x)=[f(x)+c1]-fb-f(a)b-a(x+c2)時，顯然有(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且滿足(1)式，可驗證，對于任意c1，c2都有(a)=(b)

為簡單起見，我們取c1=0，c2=-a

這時(x)=f(x)-fb-f(a)b-a(x-a)

若取c1=-f(a) c2=-a

則(x)=f(x)-f(a)-fb-f(a)b-a(x-a)都可得到

(§)=f’(§)-fb-f(a)b-a

從而可證明，至少存在一個§∈(a，b)使得f’(§)=fb-f(a)b-a定理得證。

這里，不僅可使學生了解輔助函數的來由，還可使學生了解輔助函數不只是一個，還可是一族。

2 仔細分析微分中值定理，挖掘其潛在的內涵

在引入微分中值定理以后，我們可進一步的引導學生仔細觀察，比較分析微分中值定理各自的條件、結論，以達到真正弄懂它們各自內在的涵義。

例如:在拉格朗日中值定理中，它的有限增量公式為:y=f(x0+x)-f(x0)=f’(§)x(§在x0，x0+x之間)

而微分增量近似公式為:

y=f(x0+x)-f(x0)≈f’(x0)x

引導學生對上式作一比較分析可得出:

微分增量近似公式要求是:f(x)在x0點可導，在x0附近是否可導并無要求，它在|△x|比較小時，精確度較好。但當△x→0時，其誤差是△x的高階無窮小量，不好估計。

而有限增量公式要求是f(x)在[x0，x0+△x]上連續(xù)。在其內部每一點均可到，而在點x0是否可導并無要求。它不論△x的大小都是一個精確的公式，此公式的缺點在于不知道確切的§值(當然此缺點不影響它廣泛的理論應用)。

又如:拉格朗日中值定理的公式f’(§)=fb-f(a)b-a中a，b是區(qū)間(a，b)的兩個邊界點。f(a)，f(b)是邊界點的函數值，§是區(qū)間(a，b)內部的點。引導學生仔細觀察它的條件和結論后得到:微分中值定理建立了函數的邊界點與函數內部點的聯系，這是一個非同小可的聯系，它開創(chuàng)了由邊界情況去研究內部情況的一條途徑，從而推導積分中的牛頓-萊布尼茲公式，線積分中的格林公式，面積分中的奧氏公式提供了理論依據。

3 注意啟發(fā)式教學，掌握微分中值定理的應用性及其重要性

在分別講授微分中值定理的三定理以后，我們要引導學生注意這三個定理的外延，以及這個三定理之間的聯系與區(qū)別。

比如:在微分中值定理里，羅爾定理是拉格朗日值定理的特殊情況，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，也是它的更一般情況，它符合從特殊到一般，又從一般認識特殊的人類的認識規(guī)律。我們再掌握微分中值定理的同時，還要求學生認識到這一規(guī)律，以提高學生認識問題的深刻性。

又如:在講授柯西中值定理時，要特別指出，柯西中值定理雖然是拉格朗日中值定理的推廣，但不能通過對分子，分母同時運用拉格朗日中值定理得:

fb-f(a)b-a=f’(§)和Fb-F(a)b-a=F’(§1)

其§和§1中和不一定同為一個值，而同一個正是柯西定理反映的重要結果。

再則，我們分析拉格朗日定理的外延。它實際上為f(x)與f’(x)之間建了一座橋梁。有了它就可通過研究f(x)的導函數來研究f(x)自身的性質。如函數的增減性，極大、極小值、積分與微分逆運算等都是通過它的導函數來研究的。這是拉格朗日中值定理的又一重要作用，總之，教師在講授這部分內容時，應注意啟發(fā)學生，開拓視野，使學生無論是從知識上還是能力上都能得以提高。