利用趨勢法討論極限存在問題

摘要：極限問題是微積分的一個基本概念，微積分中的很多概念都是有極限引出的。在高等數學中極限的定義是由“ε—δ”來定義，對初學者理解相對困難。如果從圖像的變化趨勢上來理解一元函數的極限問題，就容易的多。

關鍵詞：趨勢 極限 存在

中圖分類號:G727 文獻標識碼:A 文章編號:1673-9795(2012)01(a)-0000-00

極限問題是微積分的一個基本概念，微積分中的很多概念都是有極限引出的。透徹地掌握極限的本質，對微積分的學習幫助極大。在高等數學中極限的定義是由“ε—δ”來定義的，概念的邏輯性和嚴謹性無可挑剔，但使用起來相對麻煩。如果從圖像的變化趨勢上來理解一元函數的極限問題，不僅能深刻理解極限的定義，更能深刻掌握極限存在的充分必要條件。

1 函數極限x→x0的“ε—δ”定義和存在充要條件

設A為常數，函數f(x)在x0的一個鄰域內有定義（在x0處不一定有定義）。如果對于任意給定的正數ε，總存在一個正數δ，使得滿足不等式0＜｜x- x0｜＜δ 的任何x，均｜f(x)- x0｜＜ε有 則稱常數A為函數f(x) 當x→x0時的極限，記為。

存在的充要條件是左極限和右極限存在且相等。

2 從圖象趨勢上看，x→x0函數極限存在，趨勢是確定的，且指向A。

2.1 當函數f(x)在定義域內是連續的，則函數的極限存在，如的趨勢如圖1表示，此時的f(x0)=A。

2.2 當函數f(x)在定義域內是非連續的，在x=x0處沒有定義，則函數的極限存在，如的趨勢如圖2表示。

2.3 當函數f(x)在定義域內是非連續的，在x=x0處有定義，則函數的極限存在，如圖3，此時的函數值不等于極限值。

3 從圖象趨勢上看，x→x0時函數極限不存在，趨勢是不確定的，無固定指向。

3.1 左極限和右極限不存在的情形。

如是不存在，其圖象趨勢表示（ 見圖4）。函數在x=0點是沒有定義的，其函數值在+1和-1之間來回震動，左極限和右極限均不存在。

3.2 左極限和右極限存在，但不相等的情形。代表函數可以是兩個曲線的分段函數形式，如圖5。

3.3 左極限存在，右極限不存在的情形。代表函數可以是1個雙曲線和曲線的分段函數形式，如圖6。

3.4 左極限不存在，右極限存在的情形7。代表函數可以是1個雙曲線和曲線的分段函數形式，如圖7。

通過上述極限存在和不存在的圖象趨勢分析，可以清晰直觀的把握極限的相關知識，便于今后微積分的學習。

參考文獻

[1] 李林曙，黎詣遠主編.經濟數學基礎[M].高等教育出版社，2004，3.

[2] 柳重堪著.高等數學[M].中央廣播電視大學出版社#8205;， 2008，10.

[3] 李林曙主編.跟我學經濟數學[M].高等教育出版社，2004，3.