注重數學反例教學 培養學生的創新能力

摘 要：在數學教學中適當地運用反例，可以幫助學生理解并掌握基本概念和基本知識，正確地使用定理，同時培養學生的創新能力。

關鍵詞：數學教學；反例；創新能力

一、引言

數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用，在計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學作為一門科學，它的特性、思想方法及其作用在素質教育中是必不可少的。而數學的教學方法也多種多樣，但是在數學教學中重視反例的運用，對學生正確理解概念，掌握定理、法則、公式，培養學生的思維能力、分析運算能力、解決問題的能力，提高教學質量，特別是對培養學生的創新能力將起到十分重要的作用。

二、在數學教學中注重反例教學的必要性

數學中的反例，是指符合命題的條件而又不符合該命題結論的例子。也就是說，反例就是指出某個命題不成立的具體例子，是相對于命題而言的，是反駁與糾正錯誤命題的一種方法。數學由兩個大類——證明和反例組成，而數學發現也是朝著兩個主要目標——提出證明和構造反例發展。可見，在數學教學中證明和反例具有同等重要的作用。數學中的概念、定理比較多而且抽象，要準確理解和掌握概念和定理，不但要從正面去理解、證明，還應該克服思維定式，從反面、多方向、多角度去理解概念和定理的實質，適時地構造反例，加深對基礎知識的理解。

1.在數學教學中運用反例，可以幫助學生對基本概念、基本知識的理解和掌握

數學是一門很抽象的學科，它有許多分支，每一個數學分支中都包含著許許多多的概念和定理。而這些概念和定理又是數學理論和方法的基礎，只有準確地理解和把握概念與定理的內涵，

掌握它們的本質屬性，才有可能正確掌握數學知識。因此，在教學中只要求學生死背概念是不行的，必須注重理解其實質。而要很好地理解這些概念和定理，正面的例子可以起到了解、熟悉它們的作用，但是在教學中恰當地構造一些反例，則可以加深學生對新概念和定理的理解與掌握。例如，在數學分析或者是高等數學中，對于一元函數而言，可導和可微是等價的，但是在二元函數中就不能直接推廣了，因為對于二元函數的求導要明確對哪一個變量去求，出現的是偏導數，所以正確的結論應是它在某點可微必定在此點處存在偏導數，而偏導數存在卻未必可微。舉一反例如下：

在點（0，0）處有fx（0，0）=0及fy（0，0）=0，而在點（0，0）處卻不可微。

2.在數學教學中運用反例，可以幫助學生在運用命題（定理）時注意到它們的條件

（2）若H1是G1的子群，則f-1（H1）是G的子群；若H1是B1的正規子群，則f-1是H1的正規子群.

這個定理的條件是群同態。看到結論，有的學生肯定會想到正規子群的同態像問題。如果盲目地認為正規子群的同態像是正規子群，就錯誤地使用了定理的結論。舉一反例說明。

實際上，對于正規子群而言，下面的定理才是正確的。

定理2設G是群G到G1的一個滿同態，若H是G的正規子群，則f（H）是G1的正規子群。

這個定理較上面的定理1多了一個限制條件“滿的”。所以在數學教學中，適當地使用反例，可以使學生更清楚地認識到定理的條件及其結論，以便于在做題中更好地使用定理。

3.在數學教學中運用反例，可以幫助學生發現數學中原有理論的局限性和不足

三、注重數學反例教學，培養學生的創新能力

數學是一門研究的學科。在教學中，列舉一些不符合條件的、結論不成立的例子，實際上就是帶領學生在探討和研究某個課題。這樣做，可以很好地調動學生學習的積極性。學生通過解決數學問題尋找反例，領會數學思維的規律和方法，發展了敏銳的觀察力和豐富的想象力，也能提高自學能力，分析問題和解決問題的能力，同時培養了創新能力。

由于構造反例是一種從無到有的創造，往往需要直覺洞察力，因此它對人們思維素質的錘煉和創新能力的培養都具有重要意義；另一方面，通過反例來反駁某一命題實際上就是在證明“某命題是虛假的”，從這一角度來看，用反例來反駁可以說是論證的特殊形式，因此反例是邏輯思維與創造性思維的凝結點。通過發現反例的訓練，有利于數學嚴密性的教育，有利于直覺洞察力的發展，更有利于批判性思維和創新精神的培養。

然而在數學教學中，出現了這樣一種現象，教師為了說明一個命題為假命題，舉出一個例子，說明反例雖然滿足命題的條件，卻無命題的結論，但反例怎樣得到的呢？教師很少分析甚至不作分析。學生感到老師確實高明，從肚子里能掏出一個一個非常具有說服力的反例，就像舞臺上的魔術師，能從帽子里變出一個又一個白鴿，但是雖然非常精彩，卻是觀眾學不會的。因此，在數學教學中，教師應該盡可能地講解反例的構造，使學生從中加深對正確知識的理解和掌握，同時也培養了創新能力。通常，我們可以嘗試從這幾個方面去考慮構造反例。否定結論，倒推尋求其成立的條件，再構造反例；從結論入手，推導其成立的條件，再構造一個不符合此條件的例子即得反例；根據否定性原則，從“符合條件”入手，繼而考慮“否定結論”，再構造反例；從命題涉及對象的特性入手構造反例；由相同原因引起不成立的命題，或類似的命題，可依據已有的認知及例子，采取類比的思維方法，構造出反例等等。

一個巧妙的反例便可否定似乎經過嚴格“證明”的結論，因此，有人誤認為構造反例比證明輕松。但實際上，構造反例并不像證明那樣有清晰可循的邏輯途徑，而是給人一種不可捉摸的感覺。因而，構造反例需要更高的數學素養和勇于創新的能力。一般說來，許多反例的構造并不是唯一的，這就從另一方面給學生提供了培養創造能力的多種途徑。因此，在教學中，除教師應用反例教學外，指導學生構造反例對提高他們的創造能力有良好的作用，使學生在構造反例的過程中學會創新，養成勤于探索，不斷進取的良好習慣。另外，在數學教學中，恰當地使用反例，引導學生去構造反例，將有助于教學質量的提高和學生數學素質的培養。

參考文獻：

[1]郭要紅.反例的來源與潛在功能[J].數學教學，2003（6）：19-21.

[2]李凌，袁昊劼.反例在高等數學教學中的應用[J].高等函授學報：自然科學版，2010，23（2）：30-31.

（作者單位 山東省泰山學院數學與統計學院）