給準線一個來歷，增強認同感

摘 要：在學習橢圓和雙曲線的過程中，見縫插針地引導學生求出橢圓和雙曲線焦半徑的表達式。在把表達式幾何化的過程中，要給圓錐曲線統一的定義，使準線獲得合適的來歷，同時還要增強學生對準線的認同感。

關鍵詞：圓錐曲線；橢圓；雙曲線；準線；焦半徑；準線來歷；認同

一、問題的提出

焦點和準線在研究圓錐曲線時的重要作用不言自明。焦點和準線聯系緊密。焦點的來歷教材有所說明，然而準線的來歷沒有介紹。準線“來歷不明”，這也導致學生缺乏對準線的認同感，在解決問題時不容易想到準線。

在蘇教版選修2-1《圓錐曲線與方程》的第一節，先介紹從圓錐面截得三種曲線。在其中一種曲線中，利用丹德林雙球模型，證明了曲線上任意一點到兩定點的距離和為定值。這條截線叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點。教材給出了焦點的來歷。

接下來，教材分別給出了雙曲線、拋物線的定義。雙曲線的定義與橢圓類似，涉及焦點，而拋物線的定義不僅涉及焦點，還涉及準線，但教材沒有說明準線來歷。

在后面《圓錐曲線的統一定義》一節中，教材把準線從拋物線推廣到圓錐曲線。這樣，橢圓和雙曲線也有了準線。

教材從始至終都沒有說明圓錐曲線準線的真正來歷。俗話說：“名不正則言不順。”如果在圓錐面截得拋物線時構造準線，那是一件非常繁瑣的事情。這也與本章的主題（用代數方法研究幾何問題）相悖。

筆者設想在研究橢圓和雙曲線焦半徑時引入準線，再把準線推廣到拋物線的情形，還希望這樣處理不要耗費太多的時間和精力。

二、定性描述焦半徑

在本章第一節的結尾處，有一個在圖板上畫橢圓的內容。在畫好橢圓后，我們可以適時地給出如下的思考。

思考畫圓只要一個定點，而畫橢圓需要兩個定點；畫圓時定長不變，畫橢圓時，細繩被分為兩段，每一段的長度都在變化。那么，這每一段的長度變化有規律嗎？如果有的話，如何描述？

仔細觀察畫圖過程，一個較好的描述是：當筆尖在焦點連線上方自左向右移動時，筆尖到左焦點的繩長越來越長，到右焦點的繩長越來越短；筆尖在焦點連線下方時，情況類似。

這是對橢圓焦半徑的定性描述，為后面的定量描述做好鋪墊，在新課學習時插入這個思考不需要花費很長時間。

三、定量刻畫焦半徑，為“創造”準線打下基礎

在《橢圓的幾何性質》一節中有這樣一道例題。

例：我國發射的第一顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心（簡稱“地心”）F2為一個焦點的橢圓。已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439 km，遠地點B（離地面最遠的點）距地面2384 km，AB是橢圓長軸，地球半徑約為6371 km，求衛星運行的軌道方程。

讀完這道題，細心的學生可能會提出這樣的問題：為什么長軸的端點到其中一個焦點的距離最短（長）？或者說，為什么近（遠）地點是長軸的端點？

如果沒有學生提出這個問題，教師可以引導他們提出。為了解釋近（遠）地點，引導學生用代數方法來研究橢圓上任意一點P到左焦點的距離表達式。

我們通過在不同小節見縫插針地研究了橢圓、雙曲線的焦半徑，先求代數表達式。再回到幾何圖形，這是一個對焦半徑螺旋上升的認識過程。這也促進了我們對橢圓、雙曲線的認識。在焦半徑由代數表達式回到幾何意義的過程中，我們“創造”了準線。準線發揮了關鍵的、無可替代的作用。準線是后于焦半徑的概念，有了準線，圓錐曲線的統一定義水到渠成。與此同時，準線與學生之間的距離被無限拉近了。

（作者單位 江蘇省常熟市滸浦高級中學）