基于考試的必然與或然思想研究

必然與偶然是或然的兩極，它們是哲學中糾纏不清的問題之一.數學中，研究的問題大多是確定性的，這是數學成為科學不可動搖的基石的重要保證，而必然與或然思想給精確純粹、邏輯堅定的數學插上自由的翅膀.它是數學嚴謹性的補充，賦予數學更靈動的生命.

1 必然與或然思想的考查綜述

1.1內涵闡釋

必然性是一種必定發生、不可避免的趨勢，偶然性則是一種不確定的趨勢.顯然，二者是對立的，它們代表了兩種完全不同的趨勢.但它們又是統一的，必然性需要通過大量的偶然性來表現，而偶然背后隱藏著必然性.

《考綱》中指出，“概率研究的是隨機現象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規律去解決“偶然”的問題，這其中所體現的數學思想就是必然與或然的思想.”

1.2要求概述

1.2.1課標要求

日本著名數學家和數學教育家米山國藏寫過：“無論對于科學的工作者、技術人員，還是數學教育工作者，最重要的是數學的精神、思想和方法，而數學知識知識第二位的”，可見數學思想的重要性，《課標》中也提出評價建議：“筆試仍是定量評價的重要方式，但要注重考察對數學概念的理解、數學思想方法的掌握......等”.基于數學學科的特性，承載

必然與或然思想的主要載體是概率與統計知識.

1.2.2考綱要求

對于數學思想的考查，《考綱》是這樣強調的：“對于數學思想和方法的考查必然要與數學知識的考查結合進行，通過對數學知識的考查，反映考生對數學思想、方法的理解和掌握程度”.必然與或然思想主要滲透在概率與統計的考查，當然，數列、函數、三視圖、解析幾何、矩陣與變換等知識中也反映著必然與或然的思想.

1.3功能剖析

1.3.1考查數據處理能力

例1 （2011年高考福建卷理·19）某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1，2，……，8，其中為標準

5

X≥B

A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執行標準

X，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數

X的數學期望；

（Ⅲ）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由.（注：略）

評析 本題以產品的質量分級為背景，（II）圍繞乙廠產品的等級系數這一隨機變量， 提供一個樣本數據，考查頻率的意義、頻率分布表、樣本估計總體等基礎知識；考查數據統計分析能力、數據處理能力、運算求解能力和數學的應用意識；從“分布列”和“期望”兩方面研究隨機變量的規律，有力地考查了或然與必然的思想.

1.3.2考查空間想像能力

例2（2010年高考全國卷理·14）正視圖為一個三角形的幾何體可以是.(寫出三種)

評析 本題從正視圖為一個三角形出發，考查考生三視圖還原物體的能力、空間想象能力.滿足條件的幾何體可以是三棱錐、三棱柱、圓錐等，這些幾何體的幾何特征差異很大，卻又一個共性：正視圖都是三角形，這可以看成是必然與或然思想的一個體現.

1.3.3考查運算求解能力

例3（2010年高考福建卷理·16）設是不等式

S

mξ的分布列及其數學期望

Eξ.

解析 本題設計的有序數組選取過程凸顯了隨機性，學生閱讀信息、提取數據以及實施計算的過程中，都貫穿著必然與或然這一重要數學思想.研究離散型隨機變量，我們關心某次隨機試驗中取值問題，更關心的是隨機變量在取某一值時的可能性大小，這樣才能確切地掌握隨機變量的取值規律，解決相應的問題.顯然，研究過程就是“必然”與“或然”有機結合的過程.

1.3.4考查推理論證能力

例4 （2010年高考福建卷理·17）已知中心在坐標原點O的橢圓經過點，且點

C

(2 3

F，

為其右焦點.

（I）求橢圓C的方程；

（II）是否存在平行于OA的直線，使得直線l與橢圓有公共點，且直線與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

解析 本題考查直線、橢圓等的基礎知識；考查運算求解能力、推理論證能力；考生需了解橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和等于一個常數（），由此可以說明本題考查了學生的必然與或然思想，顯然，本題還考查考生的函數與方程思想、數形結合的思想和化歸與轉化思想.

相應的，筆者認為雙曲線和拋物線中也隱含必然與或然思想.另外，等差數列和等比數列也體現著“必然”與“或然”的結合.

2 必然與或然思想的考查回顧

2.1 “或然”中尋找“必然”

數學中，從變量中尋找共性是解題的一種思路.如數列的通項公式，若不考慮這一列數之間的共性，數列就只是一個個孤立的數，沒有研究價值.因此，研究數列時都試圖從中發現規律，如等差數列、等比數列這兩個特殊數列.當然，從“或然”中尋找“必然”是為了能利用“必然”解決“或然”問題.

綜觀這幾年的高考題，通過學生從“或然”中尋找“必然”來考查必然與或然思想的考題，絕大多數是對概率與統計的考查，如：

例5 （2011年高考福建卷理·13）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個，若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率是_____________.

對概率的考查需要認識各種結果出現的隨機性、頻率的穩定性、概率的確定性，認識事件發生的偶然性和事件發生的概率的必然性之間的辯證關系，這種隨機觀念體現必然與或然的思想.

2.2 “必然”中解決“或然”

概率與統計是必然與或然思想的最直接、最重要載體.概率研究的是隨機現象， 研究的過程是在“或然” 中尋找“必然” ， 再用“ 必然”的規律解決“或然”的問題.如例1中，利用概率與統計的相關知識解決（I）、（II）問，最終是為第（Ⅲ）問服務，即確定哪個工廠的產品更具可購買性.

3 必然與或然思想的考查展望

3.1 立足《課標》，關注深度廣度

綜觀福建省高考卷，對必然與或然思想的考查主要聚焦在概率與統計問題.顯然，承載這一思想的考點有待進一步的挖掘.

3.2 強化應用，重視數學能力

世間萬物是千變萬化的，必然與或然思想具有應用的廣泛性.這幾年，概率與統計題重視考題的背景，大多是貼近考生生活和習慣的實際問題.對必然與或然思想考查的同時也能考查數據處理能力和運算求解能力，而與推理論證能力、空間想象能力和抽象概括能力的結合考查的嘗試較少.