“留白”，讓數(shù)學(xué)課堂更精彩

“留白”，是中國(guó)畫(huà)的一種構(gòu)圖方法。國(guó)畫(huà)大師往往以山水一隅、寥寥野枝、淡淡帆影等“意到筆不到”的手法，巧妙地點(diǎn)化大自然磅礴之氣，實(shí)現(xiàn)以虛空傳遞豐盈的效果；古典詩(shī)詞也追求“象外之象”“韻外之志”“不著一字，盡得風(fēng)流”等空靈的藝術(shù)境界。課堂教學(xué)是一門(mén)科學(xué)，也是一門(mén)藝術(shù)。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是不是也應(yīng)該學(xué)習(xí)這種“留白”的藝術(shù)，給學(xué)生留出思考的余地和再創(chuàng)造的空間？著名的教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)：“請(qǐng)你毫不猶豫地在每一節(jié)課上盡量留出時(shí)間讓學(xué)生掌握教材吧！這些時(shí)間會(huì)讓你得到百倍的

補(bǔ)償。”

一、情境創(chuàng)設(shè)中的“留白”——體驗(yàn)更直接

蘇霍姆林斯基說(shuō)：“在講課的時(shí)候，好像是微微打開(kāi)一個(gè)通

道，望一望天際的科學(xué)世界的窗口，而把某些東西留下不講。”情境創(chuàng)設(shè)中的“留白”往往能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在探究中感悟蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想，產(chǎn)生遷移，最終抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)。

案例1：在《數(shù)學(xué)歸納法》一課引入時(shí)，筆者設(shè)置了一個(gè)多米諾骨牌游戲：每一小組在桌上任意擺放8張骨牌。提出問(wèn)題1：用手把8張骨牌推倒至多要推幾次？至少要推幾次？

學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、思考交流，很快得到答案。接著，展示一段多米諾骨牌游戲表演視頻，在學(xué)生興致勃勃地觀看完錄像后，

教師不急于總結(jié)什么。而是提出問(wèn)題2：能使多米諾骨牌全倒下的條件是什么？留下一段時(shí)間，讓學(xué)生思考、交流，反復(fù)討論，得到結(jié)論：①第一張骨牌倒下；②任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導(dǎo)致后一張倒下。

這樣的設(shè)計(jì)，一彰顯，一“留白”，不僅開(kāi)篇點(diǎn)題，還有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，使學(xué)生想學(xué)習(xí)、想探討，很快地融入課堂學(xué)習(xí)中，巧妙地點(diǎn)燃了學(xué)生思考的烈焰，撞出了智慧的火花。

二、質(zhì)疑中的“留白”——探究更深刻

古人云：“學(xué)起于思，思源于疑”，疑是一切發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的奠基石。在教學(xué)中，質(zhì)疑是學(xué)生深入思考探究的一種積極表現(xiàn)，教師要善于把握學(xué)生的這種心理特征。恰當(dāng)?shù)摹傲舭住蹦軉l(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生積極地質(zhì)疑，使學(xué)生從不敢問(wèn)到想問(wèn)，從不想問(wèn)到多問(wèn)，從不會(huì)問(wèn)到善問(wèn)，高效的課堂也就在教師的“留白”和學(xué)生的質(zhì)疑、探究中生成。

案例2：在《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》一課中，在學(xué)生運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”推導(dǎo)出（1-q）Sn=a1-a1qn后，有學(xué)生直接把它化為：Sn=

。這時(shí)，我暫不作評(píng)價(jià)，把它展示出來(lái)，讓學(xué)生繼續(xù)思考。有學(xué)生提出：“這里的q不能等于1”“等比數(shù)列中的公比不能為1”。再問(wèn)：“q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)Sn=？”學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類(lèi)討論，準(zhǔn)確地得出公式。

質(zhì)疑處恰當(dāng)“留白”是教師對(duì)學(xué)生的信任、期望和鼓勵(lì)，是為了激發(fā)學(xué)生的探索欲望。一方面能使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)知，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)更完善；另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單的模仿和被動(dòng)接受，變

為對(duì)知識(shí)的主動(dòng)探究。

三、拓展中的“留白”——實(shí)踐更深入

知識(shí)拓展是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，是課堂延伸的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是學(xué)生在原有知識(shí)基礎(chǔ)上，通過(guò)教師引導(dǎo)進(jìn)行獨(dú)立思考、合作探究、深入實(shí)踐等方式構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程。亞里士多德說(shuō)：“告訴我的會(huì)忘記，給我的會(huì)記住，讓我參與的會(huì)理解。”可見(jiàn)，在知識(shí)拓展中恰當(dāng)?shù)摹傲舭住保茏寣W(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建，讓學(xué)生在思考、探索、交流、實(shí)踐中學(xué)會(huì)“做數(shù)學(xué)”。

案例3：在《等差數(shù)列》一課中，為了讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)函數(shù)與數(shù)列關(guān)系這一“知識(shí)拓展”。引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐并完成問(wèn)題：①在直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出通項(xiàng)公式為an=3n-5的數(shù)列的圖象。這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)？②在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？③據(jù)此說(shuō)一說(shuō)等差數(shù)列an=pn+q與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系？留給學(xué)生足夠多的時(shí)間、空間和自由。

學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、交流討論后得出：①數(shù)列圖象是均勻分布的一群孤立點(diǎn)；②數(shù)列的圖象（點(diǎn)）在直線y=3x-5上，是該一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)的集合；③等差數(shù)列an=pn+q的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個(gè)子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合。

“留白”，讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手作圖、觀察對(duì)比、小組討論、發(fā)表見(jiàn)解的過(guò)程，把研究函數(shù)的方法遷移到研究數(shù)列，從“形”的角度，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法的遷移能力，以及主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神，使學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。

四、反思、歸納中的“留白”——知能得升華

數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是一種能力，更是一種過(guò)程。荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。”反思不但能幫助學(xué)生調(diào)整學(xué)習(xí)活動(dòng)中的偏差，而且能使學(xué)生在反思的過(guò)程中，豐富知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、提升能力。將“留白”這一方式運(yùn)用到反思、歸納中，為學(xué)生提供一個(gè)“消化”“理解”的時(shí)空，一個(gè)靜心回味的余地，從而對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理、加深理解、融會(huì)貫通。

案例4：在《正弦定理》教學(xué)中，在學(xué)生探究出應(yīng)用作三角形的高對(duì)定理進(jìn)行證明后，引導(dǎo)學(xué)生反思證明過(guò)程，提出問(wèn)題1：以上證明的關(guān)鍵是什么？充分探討、交流后，師生達(dá)成共識(shí)：證明的關(guān)鍵是——構(gòu)造等量關(guān)系csinB=bsinC，它表示三角形同一邊上的高不變。再提出問(wèn)題2：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？短暫的沉默后，學(xué)生開(kāi)始了熱烈的討論，最終確定如下等量關(guān)系：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了兩種證明方法。

這樣的“留白”，以自由的空間，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的主動(dòng)性與積極性，激發(fā)學(xué)生探究欲望。短暫的冷場(chǎng)與思考后，學(xué)生開(kāi)始了熱烈的討論、思想的交流和智慧的碰撞，讓學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受創(chuàng)造的苦和樂(lè)，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。

五、評(píng)價(jià)中的“留白”——關(guān)懷更深切

在課堂評(píng)價(jià)中也許教師的一個(gè)點(diǎn)頭，一抹微笑，一絲關(guān)注，都會(huì)使學(xué)生心領(lǐng)神會(huì)，在他們心中蕩漾起漣漪。課堂上教師過(guò)分張揚(yáng)的評(píng)價(jià)，會(huì)剝奪學(xué)生自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生被動(dòng)接受，失去獨(dú)立思考的空間，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，創(chuàng)新精神也就得不到培養(yǎng)了。當(dāng)學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)，可先不要急于評(píng)價(jià)，而是留下空白，讓學(xué)生暴露問(wèn)題，并讓其深入思考，糾正和自我完善。

案例5：在《直線的斜率》教學(xué)中，給出斜率公式后，在求解已知直線l過(guò)點(diǎn)A（2，1），B（m，2），求直線l的斜率時(shí)，一個(gè)學(xué)生說(shuō)：“很簡(jiǎn)單，答案是：k=■。”這時(shí)有部分學(xué)生隨即肯定：“對(duì)的！對(duì)的！”其實(shí)學(xué)生忽視了斜率公式的使用前提：斜率存在。這時(shí)，教師不急于糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，而是留出時(shí)間讓學(xué)生思考。于是有學(xué)生提出：“m=2時(shí)，斜率不存在。”同樣，不要立即肯定，留出一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生繼續(xù)思考、交流、討論，然后在大家的共識(shí)中進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

在“留白”過(guò)程中，教師應(yīng)讓學(xué)生自主挖掘公式的內(nèi)涵，探幽索微，經(jīng)歷從初步感知到逐步完善的過(guò)程。評(píng)價(jià)中大膽“留白”，是教師對(duì)學(xué)生的充分尊重和信任，能讓全體學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中具有

“安全感”，既不怕“冒尖”也不怕“出丑”，無(wú)論“成、敗、對(duì)、錯(cuò)”，都不會(huì)產(chǎn)生不良的情緒波動(dòng)，完全處于一種“寵辱不驚”的忘我境界。它也是教師對(duì)學(xué)生更為深切的關(guān)懷。

六、課堂結(jié)束時(shí)的“留白”——余味更無(wú)窮

課堂結(jié)束不是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的終結(jié)，而是鞏固課堂教學(xué)內(nèi)容的有利時(shí)機(jī)，是銜接新舊知識(shí)、貫通前后的紐帶，是從課內(nèi)到課外、由知識(shí)向能力過(guò)渡的金橋，是啟迪思維、開(kāi)發(fā)創(chuàng)造的良機(jī)。教師留給學(xué)生的不應(yīng)是句號(hào)，而應(yīng)是逗號(hào)，分號(hào)或者省略號(hào)。

案例6：在學(xué)習(xí)了《拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》后，課堂臨近結(jié)束時(shí)我向?qū)W生提出一個(gè)問(wèn)題：“拋物線的圖象與雙曲線圖象的一支有何區(qū)別？”此問(wèn)一出，學(xué)生顯得興趣盎然，陷入沉思之中，課雖已下卻又欲罷不能！

回答這一問(wèn)題，需要學(xué)生對(duì)拋物線與雙曲線圖象的變化趨勢(shì)進(jìn)行深入研究，在探究中學(xué)生對(duì)拋物線的本質(zhì)屬性有了更深層次的理解。課堂結(jié)束時(shí)巧妙的“留白”，能讓學(xué)生回顧與升華所學(xué)知識(shí)，還能讓學(xué)生帶著問(wèn)號(hào)把課堂延伸到課外，給了學(xué)生廣闊的探究空間，營(yíng)造出“言猶未盡，余味無(wú)窮”的學(xué)習(xí)氛圍。

林則徐說(shuō)：“海納百川，有容乃大。”課堂教學(xué)中的“留白”不是避而不談，不是簡(jiǎn)省，不是避重就輕，而是引而不發(fā)，是鋪墊和蓄勢(shì)，是教師對(duì)學(xué)生的尊重和信任，是為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生主體地位的回歸，是保證學(xué)生思維的時(shí)空，能發(fā)揮學(xué)生的自主性與創(chuàng)造性。“留白”是一種智慧，也是一種境界，讓我們用心為之，給學(xué)生一份天地！努力創(chuàng)造出“恰是未曾著墨處，煙波浩渺滿(mǎn)目前”的絕佳效果，從而使數(shù)學(xué)課堂更靈動(dòng)、更精彩！

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（作者單位 福建省南安成功中學(xué)）