數學史視角下角邊角判定的教學嘗試

汪曉勤教授在《全等三角形的應用：從歷史到課堂》中指出：“全等三角形的判定”是初中平面幾何重要內容之一，課程標準的要求是“探索并掌握兩個三角形全等的條件”，但并沒有涉及知識的歷史背景和實際應用，教師在授課時如果能將有關的歷史知識融入該知識點的教學設計之中，將彌補以上不足。

受這篇文章的啟發，我在講授上教版七年級第二學期第十四章《全等三角形的判定——角邊角的判定》這節課時，有意識地把有關角邊角的歷史資料融入課堂教學中.

首先在驗證角邊角判定方法時通過講故事的形式告訴學生古人對全等三角形的認識源于測量，可以上溯到古代埃及和巴比倫文明，對角邊角的判定方法，歐幾里得在《幾何原本》中采用了反證法，但后人感到不滿意。10世紀阿拉伯數學家阿爾·奈里茲在注釋《幾何原本》時，采用了疊合法，也就是我們現在采用的說理方法，然后師生共同演繹了疊合法證明兩個三角形全等的過程，使學生對這個問題的認識從感性上升到理性，與歷史資料巧妙結合，使學生了解這個判定方法經歷的論證過程，激發了學生的學習興趣。

運用角邊角判定方法解決實際問題時，再次與歷史知識相結合，啟發學生：你們知道角邊角的判定方法是誰發現的嗎？學生懷著極大的興趣希望知道答案：希臘幾何學的鼻祖泰勒斯（Thales，前6世紀）發現了角邊角判定方法，普羅克拉斯（Proclus，5世紀）告訴我們：“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理歸于泰勒斯，因為他說，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理。”

出示例題：如圖所示，海上停泊一艘輪船A，你能設計一個方案，測量A點到海岸邊B的距離嗎？（要求不能上船）并請說明由。

方案一：

看到這道題可能會覺得條件太少，無從下手，引導學生分析：測量輪船到海岸的距離要到岸邊來求，如果在岸邊找到一條線段，使它的長度等于輪船到岸邊的距離，那么這個問題就解決了。能否找一條與AB平行的線，構造兩個全等三角形，通過證明兩個三角形全等，找到對應邊相等，從而解決這個問題，泰勒斯用“角邊角”的判定方法解決了問題，你能根據這個思路構造兩個全等三角形嗎？

然后動員小組合作學習，把課堂交給學生，分組討論解決方案，各小組得到的方案以成果匯報的形式交流。

學生利用“角邊角判定方法”構造全等三角形，使線段AB的長等于另一條在我們測量范圍內的線段CD的長。

方法：過B點作直線BE⊥AB，在BE上取點C，使點C可直接到達點A，并延長BC至D，使CD=CB，過D作DF⊥BE交AC延長線于F，只要測出DF的長度，即可知道A、B兩點間的距離。

上述方法中作BE⊥AB，DF⊥BE的目的是什么？若滿足∠ABO=∠DCO≠90°，方案2是否成立，為什么？

這個方法是法國數學史家坦納里（P.Tannery，1843—1904）提出的，他認為泰勒斯應該是用這種方法求船到海岸的距離的。本題實際上是構造全等三角形，運用全等三角形性質把較難測量的距離轉化為已知距離或易測的距離，從而獲得需測量的問題的答案，是全等三角形實際應用的具體體現。面對現實問題主動從數學角度進行分析，并探索解決方案，這是數學教學中培養學生應用意識的根本途徑。

本題在實際教學中具有一定的難度，當學生看到兩點一線時感覺無從下手，部分學生利用判定1的方法構造三角形，結果發現求出的對應三角形的邊長仍然在河流中，并不是在岸上測量的，教師在后來的教學中改進引導方法，強調泰勒斯運用的是“角邊角”的判定方法，引導學生在平行線間構造全等三角形，尋找構造全等三角形的方法，討論特殊角和一般角兩種情況，請找到的學生到投影儀上演示發現過程，學生反應積極熱烈，這是本節課的亮點之一。

方案二：

在方案一的基礎上繼續設疑：方法一仍然受到置疑，因為如果船離海岸很遠，岸邊很難有足夠的平地可供測量。英國數學史家希思（T.L.Heath，1861—1940）認為泰勒斯是用另一種方法測量的，這種方法與一個故事有關：拿破侖軍隊在行軍途中為萊茵河所阻，一名隨軍工程師運用泰勒斯的“角邊角”的判定方法構造兩個全等三角形，迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎。這位軍官是怎么做的呢？

他面向河對岸的方向站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在河對岸的某一個點上，然后，他轉過一個角度，保持剛才的姿態，這時視線落在了自己所在岸的某一點上。

接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是河流的寬度。這種方法被廣泛地運用于文藝復興時期。你能說明其中的道理嗎？

分析：圖中的戰士是站立于地面上，從而知道∠CDA=∠CDB=90°，且CD=CD，∠DCA=∠DCB（視線保持不變），從而知道兩個三角形全等，所以AD=DB，上述方法是合理的。

問題：根據剛才的故事，你能找出另外一種A點到海岸邊B點的距離策略嗎？

方案二的得出，需要學生的思維從水平面拓展到豎直平面。所以，在這個過程中向學生介紹拿破侖將軍利用“角邊角”定理測量萊茵河的寬度而打了勝仗的故事，幫助學生得到方案二。

這種方法在數學史中記載，是希思（T.L.Heath，1861—1940）提出的另一種猜測：如圖，泰勒斯在海邊的塔或高丘上利用一種簡單的工具進行測量，直竿EF垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞A轉動，但可以固定在任一位置上.將該細竿調準到指向船的位置，然后轉動EF（保持與底面垂直），將細竿對準岸上的某一點C，則根據角邊角定理，DC=DB。

學生對拿破侖的工程師測量萊茵河長的故事非常感興趣，但是對七年級的學生來說，平面圖形變成立體圖形，學生的空間概念還不完善，不容易理解。有學生還認為，∠ADC明明是鈍角，怎么能和直角相同呢？為了便于學生理解。對于故事進行了相應的改動，講軍官轉到180度角，得出兩個直角三角形全等.工程師用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是河流的寬度。在此基礎上，再引導學生轉動任意一個角度，解起來就比較容易。有學生提出在轉動的過程中以工程師的腳或頭為圓心，以目測長為半徑畫弧，保持角度不變，這些都是很有見地的想法，值得肯定和表揚.

方案三：

理解了方案二的基礎上，還可以進一步把它改進成方案三，它類似拿破侖方案，但是先觀察后再退幾步構造兩個全等三角形。

以上我們看到，三角形全等判定方法的歷史與它們的實際應用密不可分，因而可以很好地創造學生的學習動機.比利時-美國著名科學史家薩頓（G.Sarton，1884—1956）曾指出：“在舊人文主義者和科學家之間只有一座橋梁，那就是科學史，建造這座橋梁是我們這個時代的主要文化需要。”我們也可以說，在數學和人文之間也有一座橋梁，那就是數學史，建造這座橋梁是今天實施數學新課程的需要，且讓我們開啟更多塵封的歷史寶藏，更好地為數學教學服務。

作為教師，要善于挖掘教學資源，采取多種形式進行教學，定會讓數學課堂不再枯燥，理科的天空也有人文的色彩.同時，教師本身更應加強學習，提高自身的數學史素養，這樣才能做好領路人，引導學生在數學的天空中自由地翱翔.

參考文獻：

汪曉勤，王甲.全等三角形的應用：從歷史到課堂.中學數學教學參考：下半月初中，2008（10）.

（作者單位 上海市石筍中學）