集合學習中的幾個難點探究

摘要：集合是現代數學的基本語言，使用集合可以簡潔準確地表達數學的一些內容。高中數學要求學生會使用最基本的集合語言表示有關的數學對象，但是由于集合知識概念新穎，符號繁多，初學者往往望而生畏。

關鍵詞：集合元素；集合關系，空集；數形結合

一、集合的三個特征

集合中的元素有三性：確定性、無序性、互異性，忽視“三性”，特別是“互異性”，會造成錯解或漏解。

1.元素的確定性

對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象是不是這個給定的集合的元素，絕無模棱兩可的情況，這是集合的最基本特征。例如給出集合{地球上的四大洋}，它的元素是太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，其他對象都不屬于這個集合。再如“著名的科學家”，“好看的鳥兒”都不是集合。

2.元素的互異性

任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入任何一個集合時，只能算作這個集合的一個元素，在同一集合里不能重復出現同一元素。如{1，a2}，根據集合中元素的互異性，可知這個集合中兩個不同的元素，其中一個是實數1，而另一個一定不是1，所以a≠1且a≠-1。

3.元素的無序性

在一個集合里，通常不考慮元素之間的順序，因此判定兩個集合是否相同，僅需判定它們的元素是否一樣，無需考查元素的排列順序是否一樣，如{a，b}與{b，a}是相同的集合。

二、元素與集合、集合與集合之間的關系

元素與集合的關系是屬于與不屬于的關系，∈用在元素與集合之間表示從屬關系；集合與集合之間的關系是包含、真包含、相等的關系，分別用？哿，？奐，=表示，需要注意以下幾點：

1.任何一個集合是它本身的子集，因為對于任何一個集合A，它的每一個元素都屬于本身，記作A？哿A。

2.A？哿B指A？奐B或A=B，二者只能成立一個；反之，A？奐B或A=B都可記為A？哿B。

3.證明兩個集合相等的方法：若A、B兩個集合是元素較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來，說明兩個集合的元素完全相同，從而A=B；若A、B是無限集時，預證A=B，只需證A？哿B且B？哿A即可。

三、空集

1.空集的概念

不含有任何元素的集合稱為空集，記作？覫。要注意數0、集合和空集的區別，數0不是集合，{0}是含有一個元素0的集合，而？覫是不含任何元素的集合，同時要注意不要把空集錯誤地寫成{空集}或？覫。

例.下列哪個關系是錯誤的？

A.？覫？奐0 B.0∈{0} C.0？埸？覫 D.？覫∈{0} E.？覫？奐{？覫}

解析：其中A、B、C、E都對，而？覫不是{0}的元素，故選D。

2.空集？覫的性質

（1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，特別要注意不能說空集是任何集合的真子集。

（2）對任意集合A，有A∩？覫=？覫，A∪？覫=A；在全集U中，由補集定義還可以推出：A∩δu=？覫，δu=？覫，δu=U。

例.下列結論正確的是（ ）

A.集合A={1，3，5}，集合B={2，4，6}，則A與B沒有相同的子集

B.A={{？覫}，？覫}，B={？覫}，則A=B

C.A={{？覫}，？覫}，那么{？覫}？奐A與{？覫}∈A都正確

D.集合A、B有相等子集，則必存在元素x，使x∈A，且x∈B

解析：集合A與集合B雖無相同的元素，但它們還是有相同的子集？覫，所以A、D錯，B也顯然錯，在C中，{？覫}既是{{？覫}，？覫}的元素也是其子集，所以選C。

四、數形結合在集合中的應用

用形來代數，形象而直觀，因此數形結合的思想在數學中廣泛應用。

1.韋恩圖在集合中的應用

例.設全集U={x|0

本題關系較為復雜抽象，用推理方法較難，使用韋恩圖，則簡捷方便。

解：由題意知U={1，2，…，9}，根據題意，畫韋恩圖，如圖1，易得A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}。

2.數軸在集合中的應用

例.已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x

解：由A∪B，確定a與1、4的大小關系，將集合A、B表示在數軸上，如圖2，更容易發現三個點個關系，得a≥4。

五、結論

深刻理解集合元素的三個特性，尤其是互異性；熟悉元素與集合、集合與集合的關系，理解空集的特性，恰當地應用數形結合的解題思想解決抽象的集合問題，可以使集合的學習達到事半功倍的效果。

（作者單位 甘肅省岷縣第三中學）