數學基本能力的培養

培養學生的邏輯思維能力、空間想象能力和猜想能力，逐步形成運用數學來分析和解決實際問題的能力是中學數學教學目標的重要組成部分。要求通過數學基礎知識的教學和基本技能的訓練來培養學生的基本能力，并使學生逐步掌握數學中的一些思想、方法，培養學生把實際問題轉化為數學問題并加以合理解決的能力。另外，由于數學科技發展速度的加快，特別是電子計算機的應用日益廣泛，致使數學教學內容更新的速度也要加快。適應這種發展趨勢，需要加強對學生基本能力的培養，即要求遵循認識規律，通過恰當的教學和訓練，不僅使學生獲得知識和技能，而且能培養學生的數學基本能力，從而有助于學生更快地去獲得和運用知識。

培養學生的基本能力是一件長期、細致的教學工作。下面談談我的做法。

一、邏輯思維能力的培養

邏輯思維包括概念、判斷、推理等基本思維形式和證明等思維過程。邏輯思維能力是能進行正確、合理的思考的能力。

由于邏輯思維能力是數學中其他能力的核心，運算、想象、觀察、記憶等都離不開邏輯思維能力。因此，必須重視邏輯思維能力的培養。又因為數學本身就是邏輯性強、結構嚴謹的學科，也為培養這種能力提供了有利條件。此外，也要注意到從形象思維到邏輯思維是青少年心理發展的一個特征，教學時還必須與學生的年齡特征結合起來，既利用他們的心理特征又要注意提高他們的心理素質。下面，就培養學生邏輯思維能力問題談幾點看法。

1．平面幾何是一門比較“典型”的邏輯模型

結合教材內容，有機地結合形式邏輯中的有關部分，進行邏輯思維的培養是有利的，也是可行的。為此，教學中應注意以下幾點：

（1）要有意識地從初一代數教學就開始培養學生的邏輯思維能力，到學幾何時就有了一定的基礎，這樣做也有利于解決學幾何的“開頭難”問題。

（2）要注意解決幾何開頭難的問題，其中要特別注意解決語言難在解決推理難的過程中的作用。

（3）教學中要適當地滲透一些有關邏輯學的基本知識。如概念的定義、演繹推理（特別是三段式）、論證方法及其規則、依據等。

2．教學中要注意青少年在心理上正在由形象思維向抽象思維過渡的特點

在培養學生邏輯思維中要從感性認識入手，在形象的基礎上創造條件使之轉化為邏輯思維。一般來說，要做到：首先，使學生形成鮮明的表象，其次，形成概念、判斷，完成形象思維階段，最后，擺脫形象思維使之進入邏輯思維階段。要加強分析和綜合、抽象和概括的思維活動，即達到以“詞”為主要對象的思維活動。

3．教學中教師要以身作則，并嚴格要求學生

尤其是在數學課上，教師的語言要合乎邏輯，以此來影響學生。教師的板書也要做到有邏輯性。在作業的批改、回答學生的問題中，不論用什么形式都要做到邏輯性強、觀點明確、論據充分，不說沒有根據和模棱兩可的話。同時要嚴格要求學生，不論在作業中、答卷上、回答問題時都要做到有錯必糾。

二、空間想象能力的培養

“想象”是一種在人的頭腦中創造出某種未曾感知過的事物或現象的思維活動。數學是研究客觀世界的空間形式及數量關系的科學。因此，數學中的空間想象力更多的是指對事物的形狀、大小、位置關系及有關情境的想象能力。課程標準中規定：培養學生的空間想象力是必要的。如在建筑設計時，就需要在沒有建造出大廈之前想象出它的形狀、構造，并畫在圖紙上。在中學安排了平面幾何、立體幾何內容，這就為培養學生的空間想象力提供了基本陣地。但它們不是唯一的陣地。在代數、三角等內容的教學中也擔負著培養空間想象能力的任務。

教學實踐表明，培養學生的空間想象能力，還必須和培養邏輯思維能力結合起來進行。另外，在培養學生空間想象力的教學中是離不開實物、模型、電腦動畫等的幫助的，對于教具和動畫的制作、使用都要認真加以研究，要根據學生的認知規律、心理特點等采取切實可行的教學方法，才能取得好的教學效果。

在中學數學教學中培養學生的空間想象能力，一般有以下幾方面的要求：

1.對于客觀存在著的空間模型，能在頭腦中正確地反映出來，也就是說要形成空間觀念

2.能夠將空間模型按照統一的規定繪出平面圖形。反過來也能夠對于已有的圖形，想象出它所表達的空間模型

3.在空間想象中，不但能進行邏輯思維，還能根據圖形進行形象思維

有人有一種錯覺，認為只有通過立體幾何的教學，才能培養學生的空間想象能力，其實空間也包括一維和二維空間。事實上，沒有對一維、二維空間的想象，三維空間的想象又從何談起呢？況且想象又不都是形狀的想象，也可以是對那些未曾感知過的事物、物體、現象、情境的想象。所以空間想象能力的培養絕不僅僅是立體幾何教學的事。在數學教學中數形結合的內容是很多的，如數軸、坐標系、函數圖象等，都是通過數量分析來想象圖形的。反之，從圖形也可以轉化為對數量的分析。如代數教學中“比較x2和x的大小”的問題時，也可以通過函數圖象來解決。作函數y=x2－x的圖象，由圖象可知：①當x＜0時或x＞1時，y＞0，故x2＞x；②當x=0或x=1時，y=0，故x2=x；③當0＜x＜1時，y＜0，故x2＜x。

三、猜想能力的培養

根據已經掌握的材料和科學原理對一未知事物及其發展規律所作出的一種推測性的想象稱為猜想。

人們在社會實踐中，特別是在科學研究中，對客觀事物及其規律的認識，總是要經歷一個由現象到本質的復雜過程。這樣，人們就需要根據已掌握的材料和科學原理對所研究的事物作出某種猜想，從而為人們的進一步研究提供某種方向和線索，再進一步去驗證或論證或推翻這一猜想。如果經驗證或論證猜想是真的，猜想便成為規律或定理，否則該猜想就不能成立，就需要對該事物作出新的解釋，也可作出新的猜想。這樣，也就推動著人們認識活動的不斷深入發展。

猜想，不是憑空地臆想，要通過觀察和研究某一對象的各種情況，以便占有各種材料，然后運用有關的知識對自己占有的材料進行科學分析，作出猜想。最后對所提猜想做進一步的研究，如驗證、論證、修正、拋棄。

國家建設需要一大批具有創造才能的各種人才。這些人要勇于探索，善于獨立思考。他們在發現、發明、解決問題的過程中，常常需要由直覺思維“猜想”答案，然后由分析思維驗證或論證。創造才能較強的人，都具有良好的直覺能力，而這種能力的強弱往往與中學教育聯系極為緊密。猜想在直覺思維中具有特殊的作用。直覺思維具有飛躍性，猜想就是直覺思維的翅膀，猜想可以打破舊有的邏輯格式，拓寬思路，使一些已經固定的觀念有可能過渡到其他新的、獨創的觀念。俄羅斯數學家羅巴切夫斯基就是沖破歐幾里得幾何學的框框而開創了非歐幾何學的。科學家的每一個創造都離不開猜想，所以在中學數學教學中，培養學生的“猜想”能力至關重要，它對于開發智力、培養開創型的人才起著很大的作用。

孔子說：“學而不思則罔，思而不學則殆”。這是千古教育的真諦。沒有舉一反三的聯想與猜想的思維傾向是學不好任何知識的。但思維的靈活必須以廣博的知識為基礎，有了廣博的知識，我們才不至于想入非非，胡亂猜想。猜想出來的東西還要靠實踐檢驗和廣博的知識去論證。因此，創造離不開發散性的“思”，猜想離不開收斂性的“學”。科學的創造就是在這樣經常不斷地學與思，猜想與論證中，創造出人間的奇跡來的。

在中學數學教學中應鼓勵和指導學生進行猜想和論證。可以由一些特殊事例猜想一般規律；也可以通過類比，由甲事物的性質想到乙事物的性質。

目前，中學教育仍存在著跟著升學考試轉的問題，只重視傳授知識，傳授也是灌輸式的。很多數學教師不懂得傳授知識與培養能力的辯證關系，不重視基本知識教學，更忽視基本能力的培養，或者認為傳授知識是硬任務，培養能力是軟任務。值得欣慰的是，我國的教育在不斷地進行改革，新的教學理念、新的教法和學法應用到實際的教學當中，如生本教育、研究性學習、網絡探究學習等。這些新的教法和學法不僅培養了學生的基本能力，還培養了學生合作學習和探究的能力，使學習進入到更高的層次，使學生真正實現從“學會”到“會學”的轉變。隨著我國教育改革的不斷深入，必將為社會培養更多實用的人才，為國家的現代化建設做出更大的貢獻。

（作者單位 廣東省惠州市第二中學）