解題在中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的作用

摘 要:數(shù)學(xué)課程具有難度高、抽象性強(qiáng)的特點(diǎn)，因此中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是通過解題的訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)邏輯思維能力，使學(xué)生不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考，思路合理，見解獨(dú)到和有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的題。本文從五個(gè)方面闡述了解題對(duì)于中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要性，意在讓每一個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作者把數(shù)學(xué)解題作為開發(fā)中學(xué)生智力的有力工具，要把“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑。

關(guān)鍵詞:理性思維;數(shù)學(xué)靈感;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)感

中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1002-7661(2012)22-232-02

美國(guó)著名的當(dāng)代數(shù)學(xué)家和教育家G·波利亞指出:“掌握數(shù)學(xué)意味著什么?這就是說善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考，思路合理，見解獨(dú)到和有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的題。”

數(shù)學(xué)課程除了難度較高，抽象性較強(qiáng)，還有一個(gè)讓學(xué)生真真切切體會(huì)到的特點(diǎn)就是作業(yè)多，解題量較大，學(xué)好數(shù)學(xué)并非易事。大多數(shù)數(shù)學(xué)教師雖不提倡“題海戰(zhàn)術(shù)”，但學(xué)生沒有經(jīng)過一定題量的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)的能力是很難得到提高的。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練，要把“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑。解題對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性主要體現(xiàn)在以下五個(gè)方面。

一、解題能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所必備的理性的思維能力

從某種意義上講數(shù)學(xué)是一門理性思維的學(xué)科，要學(xué)好數(shù)學(xué)必須具備一定的理性的思維能力。而一定量的解題就能很好的培養(yǎng)這種能力。總的來說，解一道題的過程實(shí)際上是將腦海中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行一次系統(tǒng)的，有邏輯的重組，要具備辯證的思維能力運(yùn)用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法分析找到解決問題的突破口，再進(jìn)行推論和闡述。解一道綜合性較高，知識(shí)性較強(qiáng)的題，不但是原有知識(shí)的鞏固、綜合與消化，更是一種將一原有知識(shí)的提升和升華的有效途徑。嚴(yán)格的解題訓(xùn)練能培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)到的創(chuàng)新能力、豐富的聯(lián)想能力、靈活的處理問題的能力以及綜合問題的能力，簡(jiǎn)言之就是有助于學(xué)生形成崇尚科學(xué)善于思辯的思維習(xí)慣。而這對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來說是不無(wú)裨益的。

解題是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，有許許多多的因素影響著它。這許許多多因素中，不僅要求解題者具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要求具有一定的解題方法及解題能力。所謂解題能力即指運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力

波利亞說過“一個(gè)有意義的題目的求解，為解此題所花的努力和由此得到的見解，可以打開通向一門新的科學(xué)，甚至通向另一個(gè)科學(xué)新紀(jì)元的門戶”。這就是說，解數(shù)學(xué)題能打開解題者的智力大門，能使你從一個(gè)門通向另一個(gè)新的大門。大數(shù)學(xué)家歐拉為了解開著名的哥尼斯堡七橋之謎，由此而產(chǎn)生了“一筆畫”數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)被公認(rèn)為是“思維的體操”，就是因?yàn)樵谝粋€(gè)數(shù)學(xué)題目中，不但蘊(yùn)含著一些未知的量，而且隱藏著許多各式各樣的聯(lián)系，促使解題者去分析，去發(fā)現(xiàn)、去完美解決。解決之后還能發(fā)人深省，誘人開拓，這對(duì)中學(xué)生的智力難道不是最好的開發(fā)嗎?

波利亞還指出:解題的價(jià)值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的?”、“是什么促使你這樣想，這樣做的?”這就是說，解題過程還是一個(gè)思維過程，是一個(gè)把知識(shí)與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。在一般情況下，問題與知識(shí)的聯(lián)系并非是顯然的，即使有時(shí)能在問題中看到某些知識(shí)的“影子”，但畢竟不是知識(shí)的原形，或是披上了“外衣”，或是少了條件，或是改變了結(jié)構(gòu)，從而沒有現(xiàn)成的知識(shí)、方法可用。這就是有些同學(xué)說“課聽得懂，公式定理背的出，就是題不會(huì)做”的原因。數(shù)學(xué)解題能鍛煉你的思維能力，能使你去偽存真，透過現(xiàn)象看到題目中本質(zhì)的東西，能使你的數(shù)學(xué)思維方式及數(shù)學(xué)思維能力得到極大的提高。由此，你的智力也就得到極大的開發(fā)，把數(shù)學(xué)解題作為開發(fā)中學(xué)生智力的有力工具應(yīng)是每一個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作者的神圣職責(zé)和義務(wù)。

二、數(shù)學(xué)解題是掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要途徑

一個(gè)數(shù)學(xué)教師講授完某個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生怎樣才能掌握你所傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)呢?難道是聽你講一遍就掌握了嗎?不是的，著名的哲學(xué)家?guī)於髡J(rèn)為:“學(xué)生正是通過學(xué)習(xí)范例，通過做習(xí)題等活動(dòng)來掌握一門科學(xué)知識(shí)及其方法的。”唯物認(rèn)識(shí)論告訴我們:人的認(rèn)識(shí)要經(jīng)過兩個(gè)階段，認(rèn)識(shí)的第一階段是感性認(rèn)識(shí)，在這個(gè)階段中，人們對(duì)外部的認(rèn)識(shí)，還不能造成深刻的概念或作出合乎論理的結(jié)論。認(rèn)識(shí)的第二個(gè)階段是理性認(rèn)識(shí)，在這個(gè)階段中，人們對(duì)外部的感覺和印象的東西在腦子里反復(fù)了多次，生起了認(rèn)識(shí)過程中的突變(即飛躍)。概念產(chǎn)生了。

數(shù)學(xué)知識(shí)就是學(xué)生外部的感覺和印象。學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)知識(shí)，也要經(jīng)過感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)這兩個(gè)階段。學(xué)生聽數(shù)學(xué)課，得到的只是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)，要把這種感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。就必須同數(shù)學(xué)的概念、定義、公式、定理接觸、實(shí)踐于那個(gè)事物的環(huán)境中，也就是要用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解數(shù)學(xué)習(xí)題。

實(shí)踐證明:做習(xí)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要形式，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)實(shí)踐性環(huán)節(jié)，通過做習(xí)題可以使學(xué)習(xí)者獨(dú)立地、積極地進(jìn)行認(rèn)識(shí)活動(dòng)。深入地理解數(shù)學(xué)概念、全面系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。試想一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)如果不解數(shù)學(xué)題，那將是一個(gè)什么樣的后果。

三、解題能讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈感

學(xué)好數(shù)學(xué)是要有靈感的。從心理學(xué)的角度講靈感是由疑難面轉(zhuǎn)化為頓悟的一種特殊的心理狀態(tài)，這也正是思考并解出一道難度較高的一道題的心理狀態(tài)。一道難題的解答必須是在熟練的掌握基本知識(shí)基本技能的前提下，并具有較強(qiáng)的洞察力、巧妙的構(gòu)思才能解出的。我們?cè)诮怆y題時(shí)在冥思苦想的過程中思想保持極度的明確性再加上智慧的高度敏銳性，思維過程中遇到重大阻礙豁然貫通而統(tǒng)統(tǒng)得到克服。當(dāng)這些極度疑難的問題，突然得到解決時(shí)，思潮洶涌，浮想聯(lián)翩，每每如此久而久之靈感便產(chǎn)生了。當(dāng)然，“冰凍三尺非一日之寒”，并不是解一兩道題就能學(xué)好數(shù)學(xué)的，解題是需要一定的量的，只有數(shù)量和質(zhì)量同時(shí)達(dá)到，才能實(shí)現(xiàn)量變到質(zhì)變的真正轉(zhuǎn)變，才能真正獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈感，這是一個(gè)日積月累，長(zhǎng)期辛苦勞作的過程。一旦有了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈感，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難也就變得相對(duì)容易了。

四、解題能營(yíng)造學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意境和培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情趣

王國(guó)維曾經(jīng)在《人間詞話》中說過人生奮斗必然要經(jīng)過的三種境界:“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望斷天涯路”，此第一境界也。“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”此第二境界也，“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”此第三境界也。

我們?cè)诮怆y題的時(shí)候也要經(jīng)過這三種境界:第一種境界是拿到這道題時(shí)茫然不知所措不知從何下手的過程;第二種境界是苦苦思索，尋找最佳突破口，而全力以赴不懈努力的過程;第三種境界是得到最后結(jié)果的釋然和欣喜的平靜的體味享受的過程。由此可見解答過程可以讓學(xué)生感受到人生的哲理.不僅如此，一道好的題目還能給人予藝術(shù)體驗(yàn)，就像在觀賞品味一件精美的藝術(shù)品，或進(jìn)行諸如打球之類的娛樂活動(dòng)一樣充滿了情趣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)然就不再是一件枯燥無(wú)味的苦差事了，學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性無(wú)形中便會(huì)得到加強(qiáng)。

五、解題能較好的幫學(xué)生學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)思想方法，是使學(xué)生提高思維水平，真正懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的重要保證。那么，如何的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想和方法呢?數(shù)學(xué)的思想方法主要包括轉(zhuǎn)化的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，化整為零的思想方法，構(gòu)造的思想方法、歸納假設(shè)的思想方法等等，而這些思想和方法都可以在不斷的解題過程中感知和體會(huì)并很好地掌握，因此從這種角度上可以說解題是學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)最有力的工具。

總之，解題需要對(duì)數(shù)學(xué)的感悟，需要想象力，需要對(duì)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)靈活的應(yīng)用，更需要我們不斷的實(shí)踐和探索，從解決各種復(fù)雜多變的問題中積累和練就“技巧”—靈活處理，隨機(jī)應(yīng)變。而通過解較難的數(shù)學(xué)題目，我們能掌握更多的邏輯推理方法，這不僅能使我們更深刻地理解有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，還可以學(xué)到使問題轉(zhuǎn)化以得到解決的方法、途徑和依據(jù)，受到更有效的邏輯推理訓(xùn)練，從而培養(yǎng)我們觀察、分析和解決問題的能力，并能理清思想進(jìn)行有說服力的論斷，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和把握能力和培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 波利亞著 《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第一卷 歐陽(yáng)絳譯 北京:科學(xué)出版社，1982年 第二卷，劉遠(yuǎn)圖等譯 北京:科學(xué)出版社，1987

[2] 林金途 《數(shù)學(xué)題的有效解題策略——題目結(jié)構(gòu)特征分析法》 《福建中學(xué)數(shù)學(xué)》，2004 5