《二項式定理》教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法

【摘要】在發(fā)揚我國“雙基”教學(xué)的同時，關(guān)于提升“數(shù)學(xué)思想方法”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，落實素質(zhì)教育，已成為數(shù)學(xué)教育界的普遍共識，本文僅以《二項式定理》的公式教學(xué)為例，來說明數(shù)學(xué)思想方法在基本概念和基本公式的教學(xué)中的地位和作用。

【關(guān)鍵詞】二項式定理 數(shù)學(xué)思想方法 中學(xué)數(shù)學(xué) 素質(zhì)教育

【中圖分類號】G633.62 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0137-01

我們完全可以使《二項式定理》一節(jié)的教學(xué)，充滿自主學(xué)習的智慧與創(chuàng)造。用數(shù)學(xué)思想方法來處理教學(xué)，是達成這一教學(xué)目的的重要手段。缺乏數(shù)學(xué)思想使公式教學(xué)陷入機械記憶的問題長期存在，我們可以通過加強數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的應(yīng)用這一辦法來改變這一現(xiàn)狀。

1．推導(dǎo)(a+b)n的展開式的教學(xué)設(shè)計中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法解析

1.1 歸納法的應(yīng)用

二項式展開式公式的學(xué)習內(nèi)容出現(xiàn)在高中課本第二冊（下）第十章的第三節(jié)，在探索公式(a+b)n形成的過程中，我們可以對n施行不完全歸納法，使學(xué)生由特殊性事例總結(jié)出一般性的規(guī)律，從而達到掌握公式(a+b)n的展開式的目的。為此，設(shè)計以下問題讓學(xué)生運算。

n=2時， (a+b)2=(a+b)(a+b)= ？…………………………（1）

n=3時， (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)= ？……………………（2）

n=4時， (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=？………………（3）

…… …… …… …… …… …… …… …… …… ……

（1）式的結(jié)果顯而易見，但后面兩個式子的結(jié)論就不是那么明顯。波利亞在他的著作《怎樣解題》中這樣寫道：“即使是相當好的學(xué)生，當他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證后，就會合上書本，找點別的事來做。這樣，他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面。通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，學(xué)生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們解題的能力。”教師在教方面也常常有缺乏新舊之間的聯(lián)系的毛病。我們可以在（1）式的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生重新回顧和總結(jié)得到這一結(jié)果的路子，從而進一步歸納出(a+b)3， (a+b)4， …， (a+b)n等式子展開式的學(xué)習方法。

1.2應(yīng)用聯(lián)系與銜接的數(shù)學(xué)思想方法將新知學(xué)習轉(zhuǎn)化為舊知

聯(lián)系同學(xué)們已學(xué)過的一道例題，來對上述歸納法的實施和學(xué)生的自主學(xué)習提供具體的方法和保障。

例：兩個口袋都裝有黑白兩種顏色的小球各一個，現(xiàn)從中各取出1個小球：

（1）共有幾種不同的取法？

（2）所得2小球按顏色分可分為哪幾類？

（3）各類顏色在所有取法中所占的比例如何？是怎樣確定的？

該例題是學(xué)生在前面一節(jié)中很熟悉的一道基礎(chǔ)題，對于本例中的三個問題，其結(jié)論都與(a+b)2的學(xué)習存在著密切的聯(lián)系，解析如下。

問題（1）：其中的4個答案（白，白），（白，黑），（黑，白），（黑，黑）（寫在前面的文字表示從第一個口袋中取得的球的顏色，寫在后面的文字表示從第二個口袋中取得的球隊顏色）與(a+b)2=a2+ab+ba+b2有聯(lián)系，這是因為(a+b)2■(a+b)(a+b)后，再設(shè)a為白球，b為黑球，計算(a+b)2的問題就轉(zhuǎn)化為上述例題“兩個口袋都裝有黑白兩種顏色的小球各一個，現(xiàn)從中各取出1個小球，取法有幾種”的問題來解決，其結(jié)果a2+ab+ba+b2與（白，白），（白，黑），（黑，白），（黑，黑）4種結(jié)果發(fā)生對應(yīng)。

問題（2）：由（1）的結(jié)論（白，白），（白，黑），（黑，白），（黑，黑）看出，所得2小球按顏色可分得的三類為：2白；1白1黑；2黑，很顯然，這與a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2產(chǎn)生對應(yīng)。

問題（3）：取法中的三類顏色2白；1白1黑；2黑所占的比例為1：2：1的原因是2白?圳2個中取得黑球0個；1白1黑?圳2個中取得1個黑球；2黑球?圳2個中取得2個黑球，再考慮黑球來自于第一還是第二個口袋的可能性，故2白；1白1黑；2黑球可以分別用C■■，C■■，C■■來表示其產(chǎn)生這三種結(jié)果的方法數(shù)，且C■■：C■■：C■■=1：2：1。產(chǎn)生2白；1白1黑；2黑的方法數(shù)是C■■，C■■，C■■，這與a2+2ab+b2=C■■a2+C■■ab+C■■b2產(chǎn)生聯(lián)系。

進一步概括起來就是：要想計算(a+b)2的結(jié)果，我們完全可以把問題化作“從分別裝有黑白兩個小球的兩個口袋中任意取出一個小球，共有幾種不同的顏色結(jié)果，這些小球的顏色結(jié)果所占的比例如何”的問題來解決。

同理在對于(a+b)3=？的問題，我們同樣可以化為 “從分別裝有黑白兩個小球的三個口袋中任意取出一個小球，共有幾種不同的顏色結(jié)果，這些小球的顏色結(jié)果的所占的比例如何”的問題來解決。其結(jié)果按顏色分類可以分為：3白；2白1黑； 1白2黑； 3黑，同理，將這4種顏色分別按黑球產(chǎn)生的個數(shù)從少到多排列后，再按黑球來自于哪個口袋來分，可以分別用C■■，C■■，C■■，C■■來表示它們的方法數(shù)。故(a+b)3=……=C■■a0b3+C■■a1b2+C■■a2b1+C■■a3b0。

………………………………………………………………這樣，歸納起來我們就得到：(a+b)n可以轉(zhuǎn)化為“從分別裝有黑白兩個小球的n個口袋中任意取出一個小球，共有幾種不同的顏色結(jié)果，這些小球的顏色結(jié)果的所占的比例如何”的問題來解決，這樣同學(xué)們很容易得到二項式定理：

(a+b)n=……=C■■a■+C■■an-1b+C■■an-2b2+…+C■■an-rbr+…+C■■b■。

特別指出，二項展開式的通項（即第r項）為：

TY=C■■a■b■ （r=0，1，2，3，…，n）

這樣，一個完整的二項展開式就呈現(xiàn)出來了，然而，公式推導(dǎo)過程中卻應(yīng)用了諸多數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生掌握二項式定理及其推廣就容易得多了。關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法來設(shè)計教學(xué)的實例隨處可見，本節(jié)利用前一節(jié)學(xué)生已有的排列組合知識來學(xué)習二項式定理，同樣，在學(xué)生掌握了二項式定理以后，將二項式定理展開式中各項系數(shù)解析為這些黑球來自于哪個口袋，對應(yīng)地換成這些白球來自哪個口袋的問題，我們還可以在掌握了二項式定理的基礎(chǔ)上將其推廣為大學(xué)的內(nèi)容，所以這些思想方法具有普遍的應(yīng)用性。

2.二項式定理的推廣——貝努里定理

在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率都是p，則在n次獨立試驗中，事件A發(fā)生r次（r=0，1，2，3……，n）的概率按二項式定理得： (p+q)■=C■■p■q■+C■■p■q■+C■■p■q■+…+C■■p■q■+…+C■■p■q■

特別指出，貝努里定理的通項（即在n次獨立試驗中，事件A恰好發(fā)生r次的概率）為P■=C■■P■q■（r=0，1，2，3，…，n）(p+q=1)

這樣，在數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)下，我們完成了高中到大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習的一貫方法，可見數(shù)學(xué)思想方法可以上通大學(xué)數(shù)學(xué)課堂，下達中小學(xué)課堂教學(xué)，它的應(yīng)用貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習的始終。

參考文獻：

[1]全日制高中數(shù)學(xué)教材第二冊（下A），人民教育出版社，2003年審定通過。

[2][美]波利亞：怎樣解題，科學(xué)出版社，1982年出版。

[3]張奠宙：2004年數(shù)學(xué)教育高級研討班紀要 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 2005年第三期。

作者簡介：

侯淦洪，女，廣西宜州人，（1968-），1990年畢業(yè)于河池師范高等專科學(xué)校，2003年畢業(yè)于廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)函授本科班，在宜州市高中任數(shù)學(xué)教師，主要研究方向是“中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法的研究與實踐”。