二次函數新視角

【中圖分類號】G634 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0141-01

大綱教材二次函數是以研究拋物線的性質為重點，它具有較強的知識性，而在新課標下卻將二次函數的“重心”移于函數知識的實際應用，因此近年中考中利用二次函數解應用題的問題明顯增多，這一新視角足以引起大家在中考復習中的關注和重視，對于這部分內容一般以如下幾類問題出現：

1.最大利潤

例：1.2006年中秋前夕，某果品批發公司準備從外地進口一種水果，為了更好的指導今年對該種水果的銷售工作，該批發公司對往年同期的銷售情況進行了調查統計，得到了如下數據：

（1）在如圖的直角坐標系中，作出各組有序數對（x，y）所對應的點，連接各點并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數關系，并求出y與x之間的函數關系形式；

（2）若該種水果的進價為11元/千克，試求銷售利潤P（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數關系式，并求出當x取向值時，P的值最大？

解：在如圖的直角坐標系中，正確的描點、連線，由圖角可知，y是x的一次函數

設解析式為y=kx+b

∵點（25，2000），（24，2500）在圖象上

∴25 k+b=200024 k+b=2000

解得： k=－5000b=14500

∴解析式為y=－500x+14500

（2）∵P=（x-11）y

=（x-11）(－500x+14500)

=－500 x■+20000x－159500

∴P與x的函數關系式為：P=－500 x■+20000x－159500

∵-500＜0

∴當銷售價x=-■=20時，P的值最大。

評注:本題把函數知識與經濟生活有機地結合在一起，具有較強的現實性，本題其功能是對考生進行了“觀察——猜測——驗證——應用”的探究過程的考查和函數思想方法的考查。

2.最大面積

例2:（2005年，青島）在青島市開展創文明城活動中，某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成（如圖所示），設花園的BC邊長為x（m），花園的面積為y(m2)，

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫

出自變量x的取值范圍；

（2）滿足條件的花園面積能達到200m2嗎？若不能，說明理由；

（3）根據（1）中求得的函數關系式，描述其圖象的變化趨勢；

并結合題意判斷：當x取向值時，花園的面積最大？最大面積是多少？

解：（1）由BC=xm，得AB=■=(20-■)(m)

∴y=AB×BC(20-■)x=■x2+20x

∵靠墻的一邊最長是15m，

∴0＜x≤15，故所求函數關系式為y=－■x2+20x（0＜x≤15)。

（2）設y=200，解方程-■x2+20x=200，得

x1= x2=20，即BC=20(m)

而0＜x≤15，故花園的面積不可能達到200m2。

（3）由y=－■x2+20x=－■(x－20)2+200，

知拋物線開口向下，對稱軸為x=20。

當0＜x≤15時，圖象位于對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，所以當x=15時，y有最大值，y最大=187.5(m2) 答：（略）

評注：本題是通過矩形面積建立了的一個二次函數模型，內容涉及函數概念其性質，函數式的變形，處理函數最值問題的基本方法，具有一定綜合性。

3.拱橋問題

例3：（2006年，武漢，有改動）如圖是一座下承鋼管混凝土系桿拱橋，橋的拱肋ACB視為拋物線的一部分，橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，相鄰系桿之間的間距均為5米（不考慮系桿的粗細），拱助的跨度AB為280米，距離拱肋的右端70米處的系桿EF的長度為42米，以AB所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直坐標系。

（1）求拋物線的解析式；

（2）正間系桿OC的長度是多少米？是否存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半？請說明理由。

解：（1）由題意可設拋物線的解析式為y=ax2+c

由已知得F（70，42），B（140，0）

則42=4800a+c0=49600a+c 解得a=－■，c=56

所以拋物線的解析式為：y=－■x■+56

(2)當x=0時，y=56，所以OC=56（米），

當y=28時，即－■x■+56=28，

解得x=±70■。

因為相鄰的系桿間距為5米，而70■÷5不為整數，所以不存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半系桿。

評注：本例關鍵是理解問題中的實際意義，確定F、B兩點坐標和以y軸為對稱軸的解析式應為y=ax■+c這種形式，靈活運用函數知識求出相應的點的坐標，結合實際意義判定解決有關的實際問題。

由上述三例可知：二次函數應用問題涉及的知識點多，與社會生活聯系緊密，綜合性強，解題方法靈活多變，復習時在全面掌握有關的函數知識的基礎上，加強函數建模，拓展思維空間，增強創新意識，切實提高解題能力。