對(duì)角線在數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用

【中圖分類號(hào)】G633.63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B【文章編號(hào)】2095-3089（2012）07-0145-01

我們知道，平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對(duì)角線的性質(zhì)和判定非常重要，下面結(jié)合例題認(rèn)識(shí)一下它們的運(yùn)用：

例1：（如圖）已知?荀ABCD的周長(zhǎng)為20cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AD、 BC于點(diǎn)E、F，連接CE，求△CED的周長(zhǎng)。

分析：由?荀ABCD可知對(duì)角線AC、BD互相平分，又過O點(diǎn)作AC的垂線，分別交AD、 BC于點(diǎn)E、F，可以得到以A、F、C、E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，所以CE=AE，進(jìn)而求出△CED的周長(zhǎng)

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且周長(zhǎng)為20cm

∴OA=OC ∠EAO=∠COF AD+DC=10cm

在△AOE和△COF中

∠EAO=∠FCO

OA=OC

∠AOE=∠COF

∴OE=OF

又 OA=OC EF⊥AC

∴四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形）

∴CE=AE

△CED的周長(zhǎng)= CD+DE+CE=CD+DE+EA=AD+CD=10（cm）

總結(jié)：本題中首先根據(jù)?荀ABCD的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)得到OA=OC，再利用EF⊥AC且互相平分的條件得到四邊形AFCE是菱形，實(shí)現(xiàn)△CED的周長(zhǎng)=AD+CD轉(zhuǎn)化的。

例2：（如圖）已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且BE=DF

(1)若四邊形AECF是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

(2)若四邊形AECF是菱形，那么四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？

(3)若四邊形AECF是矩形，那么四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？

(4)若四邊形AECF是正方形，那么四邊形ABCD是正方形嗎？為什么？

解：（1）∵四邊形AECF是平行四邊形 ∴OA=OC OE=OF（平行四邊形對(duì)角線互相平分）又∵BE=DF

∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

（2）∵四邊形AECF是菱形

∴OA=OC OE=OF AC⊥EF

（菱形對(duì)角線互相垂直平分）

又∵BE=DF

∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD AC⊥BD

∴四邊形ABCD是菱形（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是平行四邊形）

（3）∵四邊形AECF是矩形

∴OA=OC OE=OF AC=EF（矩形對(duì)角線互相平分且相等）

又∵BE=DF

∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD 顯然 BD ﹥EF

∴AC≠BD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（對(duì)角線互相平分但不相等的四邊形是平行四邊形）

（4）∵四邊形AECF是正方形

∴OA=OC=OE=OF AC⊥EF（正方形對(duì)角線垂直平分且相等）

又∵BE=DF

∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD顯然 BD ﹥EF

∴AC≠BD AC⊥BD

∴四邊形ABCD是菱形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

這道題目充分利用了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對(duì)角線的性質(zhì)和判定，能極大的提高同學(xué)們的運(yùn)用能力，希望同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會(huì)。