中學數學中的類比

摘 要：類比法是富有創新意義的重要方法，在數學知識學習以及解題中都有著獨特的地位。它可以讓學生更容易理解和運用新知識，又因注重創新思維的培養，從而更符合創新社會新課程的發展理念，提高解題能力。因此在中學數學的學習中，我們尤其應該了解它，掌握它，運用它。本文就在類比的特點，運用等方面對之展開論述。

關鍵詞：類比法；中學數學學習；數學創新

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）21-016-03

波利亞（G. Polya，1887～1985）在《怎樣解題》中指出：“類比是一個偉大的引路人”。類比法是一種特殊到特殊的推理方法，屬于一種橫向思維。沒有這些思路（普遍化、特殊化和類比的通用的基本思想），特別是沒有類比，在初等或高等數學中也許就不會有發現。而康德（I.Kant，1724～1804）也說：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這種方法往往能指引我們前進。”當今改革的時代背景下，實施大國戰略的重中之重就是提升核心競爭力，而美國人說創新就是DNA，而我們新的課改要求“雙基”變“四基”，在新的課程戰略目標中，對創新思維的要求尤為突出。而類比正能突現其獨特創造魅力。雖然由于類比推理所得結論的局限性，使它不能作為嚴密的數學推理方法，但是它是提出新問題和獲得新發現取之不竭的源泉，是富于創造的一種方法，在中學數學教學中運用類比法對發展學生的創造性思維有著非常重要的作用，且符合當今創新性社會的發展理念。

下面，本文就從幾個方面談談類比的作用及在中學數學中的體現。

一、類比在重大科學發現及中學數學中的正面作用

1、從重大科學發現談類比

數學發展史上關于類比的例子俯首即是，但是引用波利亞所說：“我們想用一個不太初等的例子來說明這點，但是這是一個比我所能想出的任何太初等的例子更能使人難忘和具有歷史意義的有趣的例子”。瑞士著名數學家雅克布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654～1705）在發表于1689年的論文《具有有限和的無窮級數的算術命題》的最后稱難以求出所有正整數平方倒數的和。當時歐洲的一流數學家如哥德巴赫（Goldbach C，1690～1764）、萊布尼茨（Leibniz G W，1646～1716）等都未能成功解決這一難題。這個問題吸引了瑞士的大數學家歐拉（Euler L，1707～1783）的注意，他在1735年以28歲的年齡解決了這個所謂的“巴塞爾難題”。解決此問題后立刻就出名了，這是他年輕時期最著名的成果之一。歐拉就是運用了類比法，將有限與無限進行對比解決的問題。

例：假設僅含偶次項的2n次代數方程

其中 （a）

含有2n個互不相同的兩兩互為相反數的根： 、 ，…， ，則（a）式必可分解成 （a1），

然后根據三角方程sinx=0的冪級數展開 ，有無

限多個根：0， ， ， ，…， ，…

歐拉除去了這個零根，等式左右同除以x，得到方程：

（b）

它有無限多個根： ， ， ，…， ，… 用（b）式與（a）式相類比，可以推出與（a1）式相類似的表達式

然后對比 的系數，得到 ，

即 ， ，

這就是歐拉求出的所有正整數平方倒數的和公式。當然，歐拉當時的想法雖然是新穎和聰明的，但是同時也是不嚴密的，還需要進一步的證明。十年后，歐拉用諸多嚴謹的方法進行了嚴格的證明。在解決巴塞爾問題過程中，類比一直是歐拉作重要的思想方法，這有力的證明了類比這種創造性思維的重大作用。誠然，類比方法缺乏應有的嚴密的邏輯基礎，但歐拉解得了正確的結果，就數學發現本身而言，這種思想是富有創造力的。亦如大數學家拉普拉斯的話：“讀讀歐拉，他是我們大家的老師。”

更如，阿基米德（Archimedes，公元前287～前212）球表面積公式的導出， 牛頓（Newton I，1642～1727）一般有理數指數情形的二項式定理的發現等無不充分體現類比的重要性。那么究竟如何定義類比，或是歸納出它的規律呢？

2、從概念定義談類比

通俗地講，類比就是同一類事物之間的比較。由兩個對象都具有某些屬性，并且其中一個對象還有另外某屬性，推斷出另一個對象也有某個屬性的邏輯方法就是類比法。比如天空中的閃電和地面上的電進行比較，它們很多特征都是相同的，比如發同顏色的光，爆發時都有聲音，都是快速運動，都對動物致命，都能點燃易燃物等；同時又知地面上的電機的電可以用導線傳導，由此推想天空中的閃電也可以用導線傳導，后來美國大發明家富蘭克林就通過著名的風箏實驗證實了這一點。又如下表：

類比對象 類比對象所含屬性

Aabcde

Babce

上表中，A和B有相同的屬性a，b，c，e，因A另外含有屬性d，所以推斷B可能有屬性e。

3、從中學數學談類比

因為類比法在鍛煉學生創造性思維方面有著重要作用，下面就用幾個例子介紹在中學數學中運用。

首先，最常見的就是數和形相類比：通過建立坐標系，建立代數和幾何的聯系，使圖像和表達式有機的結合在一起。例如：

Ⅰ.求函數 的最小值。

分析：此類題目可以與“已知兩點A（0，a），B（b，c），在X軸上找一點P（x，0）， 使P到A、B兩點的距離之和最小”這個命題相類比。而此命題可以以坐標系為基礎解決。

又如一道高考題（蘇）

Ⅱ.設實數a、b和平面xOy內的集合

另有， 。

討論是否存在a和b，使得 同時成立。

若存在，求出a和b；若不存在，請說明理由。

分析：此題看起來毫無頭緒，大量字母充斥在題目信息中。但若運用類比思維，從整體來看，把表達式轉化成圖像，其實就是變相的討論“ 圓上及圓內是否存在點（a，b），使直線 和拋物線 有整數坐標公共點”

解：聯立直線A和B方程消去y，得到 ①

于是， ② 同時，點（a，b）滿足 ③

③式和②式的變式 兩邊相加，得到 。

但是，代入a，b到①式，得到的公共點坐標不是整數。因此，相矛盾，故不存在這樣的點（a，b）

其次，誠然現在的直觀幾何影響下小學一年級就首先引入立體幾何的認知，但是三維空間的性質及運用甚至更高維的抽象思維仍是難點。類比就仍可以有效的在幾何性質方面把維數從低維提高到多維。點到線，線到面，面到空間。如我們常見的二維平面上直角三角形勾股定理，就可以通過類比方法推斷三維空間中直四面體的三個兩兩垂直的側面的面積平方和等于底面面積的平方。亦如我們所能認知的三角形是二維平面上最少直線構成的封閉空間，而四面體是三維空間中最少平面構成的封閉空間。因直線類比于平面，而三角形類比于四面體。

類比不僅可以在解題上給予幫助，同樣對于概念、性質的認知以及新舊概念的理解和掌握有著獨到的作用。例如：在二維平面上我們很容易理解角的概念：從平面內一點引出的兩條射線組成的圖形。那么我們是否可以在三維空間中類比推出二面角的概念呢？把點類比直線，射線也就是半直線可以類比為半平面。那么我們就可以得到二面角的概念：從空間一條直線引出的兩個半平面組成的圖形。 這樣可以極大程度的減少二面角的教學難度和學生的理解難度，同時也可以滲透給學生類比的思維方法，這對于一些有難度的概念及性質的認知和延拓有極大幫助。

此外，現在的課程安排講究螺旋上升，教授新知識的同時，又要經常復習就得知識，使它們相聯系，讓學生能舉一反三，更加牢固的掌握和運用新舊知識。比如在我們學習過橢圓后，我們了解了它的定義、標準方程、圖像、焦點、離心率、準線、對稱軸、漸近線等等。然后在我們學習其他二次曲線如雙曲線時，我們就可以在這些方面進行類比學習。這樣既有利于學習雙曲線的新知識，有加深了對橢圓的理解和掌握，對新舊知識的區分和理解極其有利。

最后，類比可以激起學生學習數學的興趣。通過對比，歸類，學生可以深入的體會數學獨特的魅力，發現數學的規律，鉆研數學的本質，發展創造性思維，體會發現數學結果的巨大成就感。這對于學生將來探索未知領域、未知問題提供各一把寶貴的鑰匙。并能更深入的貫徹高中新課程的理念，更好的符合創新型社會的時代要求。為此，在教學中我們何樂而不為呢。

二、全面看待類比，克服類比負面影響

從馬克思主義唯物史觀來說，事物都有兩面性，有利就有弊。我們也要看到類比的負面問題：類比只是一種假設猜想，是一種或然性推理，即使前提真，結論也未必真的可靠，必須經過嚴格的證明，證明結果是正確的，才可以使用，不然就容易犯理想主義、經驗主義錯誤。因此，若要更大限度的使用類比，我們就要盡最大努力的提高類比推理結果的正確性。

（一）我們要克服一些錯誤的類比，防止產生類比的“負遷移”。遷移就是指一種學習對令一種學習的影響。混淆概念，混淆性質等等都會使我們差生錯誤的類比。

例如：若 ，其中 ，求x的取值范圍。

有同學就會錯誤的解成 ，這里他就混淆了模和絕對值的概念，產生了“負遷移”。 正確的解答應是

實際教學中就可以通過糾正這些錯誤的對比，進一步強化類比的思維方式，既能矯正學生的錯誤，又使它們能夠更加合理正確的使用類比方法。

（二）進行事物類比時要抓住本質屬性，同時盡可能多的增加比較的屬性的數量，并使推出的屬性和共同的屬性盡量有所聯系。盡可能的確認類比對象的相同屬性越多，它們的關聯度就會越大，結論的可靠程度就越高，反之則越低。

（三）最后由于類比就像歐拉所說：“是極大程度的相似”，我們必須對結論進行嚴密的論證，保證結論的正確性。

參考資料

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[8] 王憲昌 數學思維方法[M] 北京：人民教育出版社，2002.

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