線性化系統的參數收斂的研究

摘 要：抽象自適應補償設計中的主要缺點在于參數辨識計算中，在參數收斂條件中，存在其極限的估計值，但不能提前驗證。文中給出的方法說明了這樣做的目的旨在規避參數均衡等困難，提供了基于先驗核查的漸近穩定性條件。

關鍵詞：線性化；線性獨立；參數收斂

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）02-006-02

一、引言

在非線性控制系統中全局狀態反饋可實現的情況下，現有的自適應跟蹤方法是可以實現全局穩定。然而，不能保證參數均衡漸近穩定性，因為持續的激勵通常取決于閉環信號，一般不能被先檢查。因此，參數的融合已稱為該領域研究的巨大挑戰，吸引了很多學者的關注 [2]。除[3] [4]，[1]的自適應補償的設計，取得了一些有用的結果，其表現在下面對單輸入單輸出線性化系統中： (1)

這里是系統的狀態向量，是控制輸入，是未知的參數向量，是相應的向量回歸量。

這是通過控制使得：

（2）

這里是跟蹤誤差向量，是控制增益矢量，是在時間t上的矢量估計參數，是參考輸入軌跡。由此產生的閉環系統：

為參數誤差向量，該來自以下代數方程：

其中為:

(6)

（6）中矩陣是以下Lyapunov方程的解：

同時，設計功能基為

與為正增益常數。

由此衍生的為：

（9）

為了便于參考，取得的主要成就[1]的列舉如下：

P1 ) ;

P2 ) ;

此外，如果是線性獨立的，并且存在，那么

P3 )

主要的缺點:在參數收斂條件下，存在，但是不能提前驗證。我們試圖減輕本方法的這些困難。開始之前，作出下面的假設：

A1）參考軌跡微型是平穩的和以為周期。

A2）回歸量向量在以為參數是作為一個直接后果，是有界的。同樣，和其衍生物的一切命令，對也有界[5]。

二、主要成果

主要定理：除了屬性P1）——P3），在設計[1]時，還實現了參數化均衡漸近穩定，所提供的A1）和A2）和以下兩個條件之一是滿足的。

C1）矩陣是無限的，且滿足，。

C2) 是關于的分析功能集，其組成是線性無關的，且滿足，。

證明：第一步是獲得三個額外的屬性P4）——P6），在這里列出：

P4）當，并且用表示時，得到，，

P5）當，時，。

P6）當，時，

首先，以下兩個條件是已知的，足以確保信號至趨近于[2] - [5]。

(i) 積分的存在性和有限性。

(ii) 信號的一致連續性。

顯然當條件(i)是確定的。雖然(ii)可以完全從信號中推斷有界性[6]。在這里，有界性的信號為，和。

通過不斷的分化（3）及（9），信號和可以明確規定為： （10）

， (11)

假設所有的信號，，以及，是有界的，它立即呈現出右側的（10）和（11），因此，，是有界的。

另一方面，既然是一個變量的多項式，，并且，，正如前A1）- A2一樣，這些都是有界的。因此我們得到，對。

既然，，，在的情況，可獲得P1）- P2），通過歸納，我們得到，，，因此(ii)為信號，提供了支撐。

現在，我們要證明P4）。假設，，這反過來，如上所述，意味著(i)為和提供了支撐，這一點，再加上(ii)作為支撐，確保了，。既然，在P2）中被證明了，因此它可以被認為是由P4）總結歸納出的。

既然信號是變量多項式，，，由P2），P4）以及P5）支撐。P6）的證明將以相同的方式進行。通過直接分化，我們有

， （12）

明顯地，，因此，(ii)持有信號。假設是驗證過的，因此(i)可以認為如上面所述。可以得出結論。既然在P2）中得到證明，通過再次證明得到P6）。

最后，通過考慮P4）--P6），在信號（12）的限制可削減為

（13）

這和P2）可組合成一個更緊湊的形式

（14）

由于無窮矩陣是明顯的-周期性的，它是參考軌跡，對于所有的，意味著其的非奇異性。在這種情況下，（14）的唯一的解決辦法必須使得，C1）得到了驗證。這種情況可以進一步減少到組件之間的線性無關函數，從而驗證C2）。

三、數值實例

為了說明本文方法的有效性，提出一個算例，該系統是一個彈簧質量系統，可以描述為[6]

其中表示阻尼系數，是一個非線性術語。（15）可寫為

在這里，。顯然，相應的基礎功能是

通過把（8）帶到（17）中，設計的可明確為

該選擇參考軌跡為，（19）

滿足，顯然是定期分析周期，給定任何一個固定的，很明顯看出在范圍內是線性無關的。因此，C2）可用于（15）中確保參數統一。

同時假設以及，

由于C2）的證明，如圖1所示估計誤差，結論是收斂到零。

四、結束語

的真正價值在于提出了保證系統參數收斂的充分條件。這些條件僅僅依賴于參考軌跡，并不是難以事先檢查的，文中通過仿真算例說明了文中給出的方法的有效性。這種控制器設計方案延伸到更一般的非線性系統也會在不久的將來得以實現。

參考資料

[1] 章偉. 一組反饋可線性化非線性系統的同時鎮定[J]. 上海工程技術大學學報2011.1

[2] 亢京力. 線性系統同時極點配置的代數幾何方法[J]. 系統工程與電子技術2006.7.