從一題多變中探尋課堂效率的精細化

摘 要：如何提高四十五分鐘的課堂教學教育的效率，盡量在有限的時間里，出色地完成教學任務，是我們多年來一直追求的目標，對此筆者圍繞一題多變談談自己的一些看法。

關鍵詞：線索；挖掘；猜想；興趣；聯系

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）02-090-01

為了提高學生的成績，許多老師采用“題海戰術”，這樣的數學課學生覺得索然無味，課堂效率低下，更可怕的是學生從此對數學產生厭煩。如何讓課變得有事半功倍的效果，請看本文提供給大家的一些想法。在復習旋轉和全等的課中，我們經常會講到下面這個題目：

[原題]如圖①，四邊形ABCD是正方形，而E，F分別為AD和CD上的兩個動點，且∠EBF總為450，連結EF，

求證：AE+CF＝EF。

分析：題目中所求的是AE+CF＝EF，指出450請學生猜想一下，會想到什么呢？∠EBF＝∠ABE+∠CBF，那么能否將△EBF 分成兩個三角形，使他們分別與△ABE 和△CBF全等呢？過點B作EF的垂線，發現證全等很困難，怎么辦呢？能否把AE與CF連在一起，學生可能就會聯系到旋轉，因為四邊形ABCD為正方形，所以旋轉△AEB與△BCF可以拼在一起，拼在一起會想到什么呢？繼而，我們便會思考，△AEB與△BCF拼成的三角形是否與△EBF全等，然后題目的思路便清晰了。

證明：使△ABE繞點B順時針旋轉900，

使AB與BC重合，（問：能重合的前提條件是什么？）

點E在點E′上，

∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠A+∠BCF＝1800

∴FC， CE′是在同一條直線上（問：是什么保證FC， CE′是在同一條直線上）

∵∠ABC＝900，∠EBF＝450 ∴∠EBF＝∠ABE+∠CBF＝450，即∠EBF＝∠FBE′

∵△ABE≌△ABE′（問：∠EBF改成460還全等嗎？）

∴BE＝BE′ ∵BF為公共邊， ∴△EBF≌△E′BF

∴EF＝E′FEF＝AE+CF(可以旋轉△BCF嗎? )

不妨請同學們總結一下，可以用旋轉和拼接去證全等的前提條件是什么？根據原題和圖1，請同學們各抒己見，再歸納一下：

(1)AB=CB 只有相等邊可以重合

(2)∠A=∠BCF=900 兩個直角拼成一個平角，保證在一條直線上

(3)∠ABC＝2∠EBF 為全等埋下伏筆

上題通過旋轉變換，巧妙地利用全等，很簡便的證出。將一個圖形旋轉，圖形上的每一個點都繞著中心沿著相同的方向轉動了相同的角度．任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等；旋轉前后的兩個圖形是全等形，對應邊、對應角都相等。另一方面，一些圖形又可看成是由一個圖形旋轉而成的，這些特點都給解題創造了有利的條件。

既然已經把旋轉和全等聯系起來，不妨以此為線索，繼續挖掘這個題目的潛在價值，展開一題多變的活動，

發散思維，引起興趣。對于上面歸納的（2）中，一定都是兩個直角拼成一個平角嗎？請看下面：

如果在題一的基礎上，再連接AC，交BE于M，交BF于N，你還會想到什么呢？大家說一說自己的想法

你能證明：MN2＝AM2+ CN2嗎？ 圖（2）

分析：由問題MN2＝AM2+CN2可以聯想到勾股定理，那么用MN，AM，CN構造一個直角三角形，不就可以解出來了嗎？而題目關鍵的思路不變，還是可以用旋轉去解。

證明：將△AEB旋轉到△AE′C后，點M落在點M′上，連接M′N

∵∠ABF＝∠FBE′＝45 0，BM＝BM′，BN是公共邊

∴△MBN≌△NBM′ MN＝M′N

∵∠BAC＝∠BCA＝450

∵△ABM≌△CBM′ AM=CM′

∴∠NCM′＝∠NCB+∠BCM′=∠NCB+∠BAM=900

∴CN2+CM′2+＝NM′2 ∴AM2+CN2＝MN2

這個問題其實也是通過旋轉變換，關鍵是把∠NCB和∠BAM拼成直角得證。所以數學里的很多題目都可以通過添輔助線，增加條件把各個知識點串聯起來，使課變得更加緊湊，突出重點，讓學生循著一條中心線索激發興趣，提高能力。

巧借旋轉構造全等數學能力的提高離不開數學解題，數學能力的提高取決于解題質量，而不是數量。為此平時要加強學習對解題策略的探尋，為提高解題能力開辟一條有效途徑。

一題多變的教學方式，講解的速度固然慢一些。但以其思維的變通性、探索性和深刻性等諸多有利特點，使學生對知識和能力融會貫通，舉一反三。多角度地訓練數學思維，雖慢猶快，達到精細化的效果。