小學數學應用題建模初探

摘 要：數學建模屬于一門應用數學，它要求我們學會如何將實際問題經過分析、簡化轉化為一個數學問題，然后用適當的數學方法去解決。建立數學模型可以從模型準備、模型假設、模型構成和模型求解等四個方面考慮。

關鍵詞：等量關系；數學模型

中圖分類號：G622.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）02-096-01

我們常把來源于客觀世界的實際，具有實際意義或實際背景，要通過數學建模的方法將問題轉化為數學形式表示，從而獲得解決的一類數學問題叫做數學應用題。數學應用題具有如下特點：

第一、數學應用題的本身具有實際意義或實際背景。這里的實際是指生產實際、社會實際、生活實際等現實世界的各個方面的實際。如與課本知識密切聯系的源于實際生活的應用題；與模向學科知識網絡交匯點有聯系的應用題；與現代第科技發展、社會市場經濟、環境保護、實事政治等有關的應用題等。

第二、數學應用題的求解需要采用數學建模的方法，使所求問題數學化，即將問題轉化成數學形式來表示后再求解。

第三、數學應用題涉及的知識點多。是對綜合運用數學知識和方法解決實際問題能力的檢驗，考查的是學生的綜合能力，涉及的知識點一般在三個以上，如果某一知識點掌握的不過關，很難將問題正確解答。

第四、數學應用題的命題沒有固定的模式或類別。往往是一種新穎的實際背景，難于進行題型模式訓練，用“題海戰術”無法解決變化多端的實際問題。必須依靠真實的能力來解題，對綜合能力的考查更具真實、有效性。因此它具有廣闊的發展空間和潛力。

簡單地說，數學模型就是系統的某種特征的本質的數學表達式（或是用數學術語對部分現實世界的描述），即用數學式子（如函數、圖形、代數方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統在某一方面的存在規律。建立數學模型的過程就是數學建模的過程。數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。如何建立數學模型呢？現我結合《應用題復習課》一節的教學談點看法。

一、模型準備

在模型準備階段，即在引導學生建立數學模型前，教師先要讓學生了解問題的實際背景，明確“建?！蹦康?；然后，教師要積極組織學生搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。

二、模型假設

模型假設，是根據對象的特征和“建?！钡哪康?，對問題進行必要的、合理的簡化。用精確的語言作出假設，是“建?！敝陵P重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為。

三、模型構成

模型構成，就是根據所作的假設，分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其它數學結構。例如，我在引導學生根據“關鍵句”足球的個數是排球的150%”進行分析后，積極激勵學生寫出題中的各種等量關系。學生用文字、運算符號寫出的等量關系（即數學結構）歸納起來大致有三種：（一）足球的個數=排球的個數×150%；（二）足球的個數÷150%=排球的個數；（三）足球的個數÷排球的個數=150%。接著，我又引導學生進一步弄清楚了用哪個等量關系思考比較“順”，學生不約而同地說出了基本的等量關系式“足球的個數=排球的個數×150%”。學生思路優化，為算法的最優化做了鋪墊。在學生回答問題的基礎上，師生共同總結出“建?！钡牟襟E：審題——找關鍵句——寫關系式（基本的等量關系式，也就是數學結構）——列式解答，整個過程一目了然。為了鞏固這一成果，最后，我又出示了四道選擇題，要求學生“準而快地找出基本的等量關系式”，順利地完成了“建模”，讓學生的認識進一步得到升華。

四、模型求解

“建?！焙螅谀Ｐ颓蠼怆A段，教師可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟件包能力便舉足輕重。在這個階段，我先用PPT出示了兩道題：A.“學校有8個排球，足球比排球多50%，足球有多少個？B.學校有足球12個，比排球多50%，排球有多少個？”接著，我讓學生小組合作學習、共同思考：（一）分析題中的等量關系并寫出基本的等量關系式；（二）列式解答；（三）題A與題B有什么相同，有什么不同？在學生匯報時，我引導學生結合畫線段圖說出：題A的基本等量關系式是：足球的個數=排球的個數×（1+50%），由于排球的個數是已知的，8個，所以要求足球的個數，就用8×（1+50%）來計算；而題B中，雖然基本的等量關系式與第1小題是相同的，由于排球的個數是未知的，因而可以兩種方法來解答：其一，列方程，設排球有X個。根據等量關系式“足球的個數=排球的個數×（1+50%）”，列出相應的方程X×（1+50%）=12。其二，用算術方法直接解答，將1+50%的和看做一個因數，根據除法的意義列式為：12÷（1+50%）。在這里，我采用列方程、畫圖形、數值運算等數學方法，使模型求解化簡為易，并收到了極好的教學效果。我在“運用提高”階段安排學生獨立完成了三道題，始終堅持讓學生寫出基本等量關系式再列式解答，并讓學生比較這些題目的異同，較好地解決了模型對比、分析的問題。

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”。能否對“模型”結果作出細致精當的分析，決定了教師引導學生建立的數學模型能否達到更高的檔次。不過我們應當牢記，建立數學模型是為了讓更多的人明了并能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。在應用題教學中，我們如果能沿著這樣的教學思路，深入研究、探討“模型準備——模型假設——模型構成——模型求解——模型分析”這些過程，學生解決實際問題的方法一定會更加多樣化，中小學數學教學活動的銜接一定會水到渠成。