如何使數(shù)學(xué)概念更容易理解

摘 要：數(shù)學(xué)概念向來以抽象著稱，學(xué)生往往難以理解。本文通過對概念教學(xué)的分析，結(jié)合具體的教學(xué)案例，提出了使數(shù)學(xué)概念更加讓學(xué)生“理解”的途徑和方法，從而有效的突破概念教學(xué)的“瓶頸”。

關(guān)鍵詞：概念；形象直觀；幾何直觀；理解

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）02-120-02

張奠宙先生說過數(shù)學(xué)有三種不同的形態(tài)，第一種是數(shù)學(xué)家創(chuàng)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程中的原始狀態(tài)；第二種是整理研究成果之后發(fā)表在數(shù)學(xué)雜志上、陳述于教科書上的學(xué)術(shù)形態(tài)；第三種是便于學(xué)生理解學(xué)習(xí)、在課堂上出現(xiàn)的教育形態(tài)。我們教師天天面對的教科書上的數(shù)學(xué)概念，就是張老先生所說的第二種形態(tài)，它們是經(jīng)過嚴格整理的，簡潔、美觀的“知識成品”。由于高中學(xué)生本身抽象思維水平尚處于初步形成階段，認知結(jié)構(gòu)具有不穩(wěn)定性，很多數(shù)學(xué)概念對學(xué)生來說卻是不可思議的“天外來物”， 因此把數(shù)學(xué)的第二種形態(tài)轉(zhuǎn)化易于學(xué)生接受的第三形態(tài)是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本要求。即通過有效的途徑，使抽象的數(shù)學(xué)概念變得象直觀，從而使學(xué)生容易“理解”。

一、聯(lián)系現(xiàn)實，用生活的現(xiàn)象解釋數(shù)學(xué)概念

我們知道數(shù)學(xué)是以抽象的形式反映著客觀世界，但這種抽象根植于客觀的現(xiàn)實世界， 有著深刻的現(xiàn)實背景絕不是數(shù)學(xué)家刻意創(chuàng)造的空中樓閣。它體現(xiàn)著人類的活動，它的產(chǎn)生、發(fā)展過程凝聚著人類思維活動的結(jié)晶，其過程是生動、活潑、有趣的絕非形容枯稿、無血無肉的“形式化僵尸”。因此我們的數(shù)學(xué)教學(xué)要根植于生活、聯(lián)系現(xiàn)實，通過豐富多彩的生活現(xiàn)象來解釋復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，以深入淺出的方式讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念實質(zhì)。

案例1、函數(shù)的概念

“設(shè)、是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有惟一的確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么稱從集合到集合的一個函數(shù)，記作。”這是函數(shù)在高中階段的定義表述，和初中函數(shù)的定義相比，高中函數(shù)的定義更為抽象，學(xué)生理解起來也就更加困難。為了能順利的開展函數(shù)概念的教學(xué)，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)實，用生活中一些現(xiàn)象解釋函數(shù)概念，從而幫助學(xué)生理解函數(shù)的一般定義。筆者就曾通過一個常見的生活現(xiàn)象——“學(xué)生與座位的關(guān)系”來幫助學(xué)生理解函數(shù)概念的實質(zhì)。

一群學(xué)生到教室聽課，他們要做的第一件事就是找座位就座。通常情況下，一個座位坐一個學(xué)生，有時候一個座位也可以坐多個學(xué)生（也許是這幾個學(xué)生關(guān)系特別好，他們喜歡坐在一起；也許是座位不夠），當然有些座位也可以沒人坐（座位太多或位置太差），但無論如何都不會出現(xiàn)一個學(xué)生獨占多個座位的情況。當每個學(xué)生都坐好了，老師才會開始上課。

這個例子不僅包含了構(gòu)成函數(shù)定義的關(guān)鍵對象和條件，而且也揭示了能構(gòu)成函數(shù)的對應(yīng)類型，只能是“一對一”、“多對一”，而不能是“一對多”。學(xué)生了解了這個生活現(xiàn)象，也就自然理解了函數(shù)概念的合理性。

案例2、參數(shù)方程的概念

學(xué)生對于參數(shù)方程這個概念很模糊，尤其是參數(shù)的作用更是無法理解，針對這一情況，筆者也舉了一個形象的生活實例——“自由戀愛和婚姻中介”。

一般情況下，戀愛方式有兩種情景，一種是兩人原先就認識然后通過自由戀愛結(jié)合在一起，這就是“普通方程”；還有一種兩人原本互不相識，通過婚姻中介牽線搭橋才走在一起，這就是“參數(shù)方程”，而“參數(shù)”就充當“婚姻中介”的角色；兩人通過婚姻中介相識以后想要結(jié)婚，就沒“中介”什么事了，所以應(yīng)該“消參”變?yōu)椤捌胀ǚ匠獭保划斎唤Y(jié)婚之前兩人必須要先了解對方的情況，這就要去找中介了，因此“消參”前必須考慮變量的取值范圍問題，否則一旦“消參”后，對方的情況就無從知曉了。

以上兩個案例所反映的現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中是自然的、合乎情理的，把復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)概念和繽紛多彩現(xiàn)實生活聯(lián)系在一起，捕捉它們的共同規(guī)律，那么抽象的數(shù)學(xué)概念也就變的自然、合乎情理，并且洋溢著生活化的氣息，形象而生動，學(xué)生也就更容易理解和接受。

二、聯(lián)系圖形，用幾何直觀揭示數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述。因此在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)該聯(lián)系具體的圖形，找到它們對應(yīng)的幾何模式，利用數(shù)形結(jié)合的思想將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。

案例3、基本不等式鏈 （其中，當且僅當是等號成立）

式如其名——“基本”，并不需要什么特別的技巧只需用基本的代數(shù)方法就很容易證明這個不等式鏈的準確性。但對于這么“優(yōu)美”的數(shù)學(xué)式子只從代數(shù)的角度去研究它的“魅力”有點意猶未盡的感覺。因此教材（人教A版）展示了其中兩個不等式和的幾何背景，分別如圖1和圖2所示，美中不足的是教材沒有給出整個不等式鏈的幾何證明，所以我們應(yīng)該沿著教材所展示的思想方法，繼續(xù)挖掘其中的幾何背景。

如圖3所示，以長為的線段為直徑作圓，在直徑上取點，使，。過點作交圓于點，連結(jié)、、，過作交于，過作交圓于，連結(jié)，則圓的半徑，又由，可得，由 ，可得，由，可得，顯然，

即。

當且僅當，則，故成立。

通過聯(lián)系圖形，挖掘數(shù)學(xué)概念的幾何背景，讓圖形開口說話，不僅能夠使抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化， 而且對開闊學(xué)生的視野，拓展學(xué)生的思維空間也是非常有益的。 三、聯(lián)系其它學(xué)科，用具體的實例描述數(shù)學(xué)概念

我們知道知識本來就是互相聯(lián)系、互相滲透的。對任何一門學(xué)科的理解，都不能單靠對這一門學(xué)科的研究，特別是對數(shù)學(xué)這樣一個深入到自然科學(xué)和社會科學(xué)各個領(lǐng)域的有影響的學(xué)科。將數(shù)學(xué)知識和其它學(xué)科知識聯(lián)系起來，使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，進一步激發(fā)學(xué)生強烈的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。

案例4、平面向量基本定理

“如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使。”

平面向量基本定理到底想告訴你什么？它有什么用？筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生的回答都不盡人意，基本上是把教材中的定理再復(fù)述一遍，沒有道破定理的實質(zhì)。

“這不就是物理中力的分解嗎？”當筆者講出這句話時，學(xué)生才如夢初醒，豁然開朗。任何一個力都可以分解成兩個分力之和，也就是說同一平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合，從而使向量與實數(shù)對建立了一一對應(yīng)關(guān)系， 為用“ 數(shù)”的運算處理“ 形”的問題搭建了橋梁。

案例 5 重心的向量表示

“，則點為的重心。”

我們能不能在嚴格證明這個結(jié)論之前先直觀感知它的準確性和合理性呢？

在物理學(xué)中重心是這樣定義的，一個物體的各部分都要受到重力的作用。從效果上看，我們可以認為各部分受到的重力作用集中于一點，這一點叫做物體的重心。質(zhì)量均勻分布的物體，重心的位置只跟物體的形狀有關(guān)，有規(guī)則形狀的物體，它的重心就在幾何重心上。如果我們把一個支點放在物體的重心處，這個物體就能被平穩(wěn)的支撐起來，而且保持平衡，因此重心也稱為平衡點，在此處受力平衡，也就是說在重心處的合力為零。我們把三角形想象成一個靜止的三角形物體，三個頂點分別看成三個力的作用點，應(yīng)此在重心處合力應(yīng)該為零，那自然就有成立了。

隨著時代和社會的發(fā)展，人們對于“什么是數(shù)學(xué)”、“學(xué)生怎樣學(xué)數(shù)學(xué)”這種根本性問題的認識發(fā)生了變化。過去人們一直是在用一種靜止的、脫離社會、脫離文化的觀點去看待數(shù)學(xué)，不能夠看清數(shù)學(xué)的本質(zhì)。只有把數(shù)學(xué)和人類的活動聯(lián)系在一起、和社會與時代的發(fā)展聯(lián)系在一起，才能認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)的價值和意義。這就需要我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生提供真實的、與其他學(xué)科密切聯(lián)系的、學(xué)生感興趣的數(shù)學(xué)活動和問題，使學(xué)生在探索和討論的過程中，開闊思路，理解數(shù)學(xué)的價值和意義。

參考資料

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[2] 呂林海．數(shù)學(xué)的抽象思辨．數(shù)學(xué)教育學(xué)報[ J ]，2001，04

[3] 呂增鋒．數(shù)學(xué)概念教學(xué)貴在“自圓其說”——由橢圓離心率的定義引發(fā)的教學(xué)思考．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[ J ]（上旬），2011，03.