對一道法國選拔考試試題的幾種簡解及思考

摘 要：新課改的精髓之一就是要求教師充分利用教材、用好教材、用足教材，挖掘教材習題、結論、范例的功能，延伸并拓展這些習題、結論、范例的輻射功能，不僅有利于高考，同時更有利于奧賽及自主招生考試，實現高考與競賽的有機結合。

關鍵詞：教材范例；奧賽；簡解

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）02-174-02

2004年法國國家隊數學奧林匹克選拔考試，其中有這樣一道試題：

若，（，2，，，），且，求的最小值。

本題王希年老師在文1中利用柯西不等式給出了一種解法，解法很好．筆者利用教材上的習題或結論再給出四種簡潔解法，不當之處肯請賜教。

解法1：利用教材上最簡單的結論：（）．由該結論容易得到

=．==最小值為．

解法2：利用教材上的習題：．由該習題容易得到

最小值為．

解法3：構造對偶式：令=，=，則有

===0==．

利用教材上的習題：的變式：易得=1 最小值為．

解法4：構造分布列：

利用教材上的結論：，我們容易得到

最小值為．

非常有意思的是，本題就是在1991年亞太地區一道競賽試題的基礎上改編的，原題為：若，（，2，，，），，證明：。

若令=1，則得到本題。

思考：筆者一直在高三一線從事常規教學，同時作為一名奧賽教練，感觸挺深！事實上，象這樣利用教材上的習題、范例、結論來解決國內外競賽試題得例子確實挺多，如文1中的第11題（波羅的海2004年競賽題）就可以利用教材上的結論：（，）得到簡潔方法；再如文1中的第8題就是利用教材的一個熟悉的結論：中變式：，由此轉化為簡單的三角不等式，再如第31屆IMO預選試題、第5屆、11屆IMO試題等等．由此看出高中數學常規教學與奧賽是緊密相連，相輔相成，特別是隨著新課改的深入，新教材的普遍使用，要求教師深入鉆研教材，領會新一輪課改精神，充分利用教材上的結論、范例、習題及其變式，既可以加深對教材的理解，同時又能對奧賽試題，特別是近年來名校自主招生試題順利加以解決，對于這一點，對于高中一線教師，尤其應該引起教練員和參賽選手的高度重視。

如文2及文3都對同一個優美不等式進行了證明，其中文1中利用柯西不等式及冪平均不等式先證明兩個引理，再運用引理給出了一種證明方法；文2中運用二元均值不等式也給出了一種證明方法，他們的證明方法很美，但是都較為復雜．事實上只要運用教材上一個簡簡單單的結論：（）就可以給出常規的簡單證法。

原題為：

設，，，且，證明：

證明：由教材中的簡單結論：（）可以得到=．

同理可得，．

上述三式相加易得

+=． ①

再一次運用教材中的簡單結論：（）還可以得到==．同理可得，．

上述三式相加易得

++

=． ②

將①+②即可得到

．

再如：第36屆IMO試題：設，，，且，試證：

++．

分析如下：注意到，則等價于

++++．

證明：由教材中的簡單結論：（）可以得到．

同理可得，

．

上述三式相加易得

++．

參考資料

[1] 數學競賽之窗（高中），2004年國外數學競賽試題匯編（三），2005（6）．

[2] 李永利．一個優美的代數不等式．數學通訊，2008（15）．

[3] 王茂飛．一個優美不等式的常規證法．數學通訊，2008（23）．