指導學生運用分類討論解決數學問題

【關鍵詞】分類討論 數學問題 概念型 性質型 圖形型

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）10B-

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分類討論是思考問題的重要方法。它能夠把一個復雜的問題簡單化，讓問題的解決體現全面性。在初中數學教學中，教師要善于指導學生運用分類討論的方法解決數學問題，培養他們思維的全面性、條理性、邏輯性。初中數學問題按性質分，可以分為概念型問題、性質型問題和圖形型問題這三大類。本文談談對于這三大類數學問題如何引導學生運用分類討論的方法去解決。

一、分類討論解決概念型數學問題

數學概念是數學知識體系的最小單位。初中生如果對數學概念掌握不好，就不可能學好數學知識。在初中數學教材中，有很多概念型的數學問題，教師需要引導學生運用分類討論的方法去解決，促進學生對數學概念內涵和外延的理解。

例如，“有理數”這一數學概念，在教材中分別根據其性質和符號進行分類。按照有理數的性質分，它可以分為整數和分數兩類；按照有理數的符號來分，它可以分為正有理數、0、負有理數三類。在練習中設計了這樣的題目：

數擴展為有理數之后，下面結論還成立嗎？請說明理由。

①若兩個數的和是0，則這兩個數都是0。

②任何兩個數相加，和不小于任何一個加數。

對于這樣的問題，教師往往會讓學生通過舉反例進行論證。但是，盡管學生能輕而易舉地舉出許多例子，卻不能說明已經達到設計此題的教學目的要求。這個問題的教學目的是從兩個加數的符號分類討論有理數的和的各種情況。因此，教師在講解時，應通過舉例運算，讓學生仔細觀察，運用分類的方法歸納出兩個異號的有理數相加，其結果可以分為三類：第一類，兩個數的絕對值相等，這兩個數的和為0；第二類，正數的絕對值大于負數的絕對值，兩個數相加的和為正數；第三類，正數的絕對值小于負數的絕對值，兩個數相加的和為負數。這樣，通過分類討論，不僅使問題得到解決，更重要的是讓學生對有理數的概念獲得更深入的認識。

二、分類討論解決性質型數學問題

初中數學教材中的數學公式、數學定理、數學法則、數學性質等一般都是根據不同的情況分進行分類描述的。對于性質型的數學問題，指導學生用分類討論的方法去解決，能夠幫助學生提高解題效率和數學思維能力。

例如，“一次函數”這課中有這樣一個數學性質：對于一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k≠0），當k>0時，y隨著x的增大而增大；當k<0時，y隨著x的增大而減少。問題：若一次函數y=kx+b的自變量x的取值范圍為-1≤x≤5，相應函數值的范圍為-10≤y≤10，求此函數的解析式。

在解決這個問題時，教師可以引導學生將k分兩種情況進行討論：

①當k>0時，由-1≤x≤5得-k+b≤kx+b≤5k+b，即-k+b≤y≤5k+b，由-10≤y≤10比較可得-k+b=-10，5k+b=10，解得k=10/3，b=-20/3；

②當k<0時，由-1≤x≤5得5k+b≤kx+b≤-k+b，即5k+b≤y≤-k+b，由-10≤y≤10比較可得5k+b=-10，-k+b=10，解得k=-10/3，b=20/3。

因此，所求的函數解析式為y=10x/3-20/3或y=-10x/3+20/3。同樣，對于反比例函數k也可分成k>0和k<0兩種情況進行討論。

這樣，學生就能夠通過分類討論對一次函數的性質獲得深刻的理解，培養思維的深刻性與嚴密性。

三、分類討論解決圖形型數學問題

培養學生的空間觀念是數學課程標準提出的重要教學目標。在指導學生解決圖形型數學問題時，利用分類討論的方法能夠有效培養學生的空間觀念，提升學生的數學素養。

問題1：等腰三角形的兩角之差為60°，求該三角形各內角的度數。

對這道題可以這樣引導學生進行分類討論：

設較小內角為x，則較大內角為x+60°。

①當較小內角為底角時，x+x+（x+60°）=180°，解得x=40°。

②當較小內角為頂角時，x+（x+60°）+（x+60°）=180°，解得x=20°，x+60°=80°。綜合起來，該等腰三角形的各內角為40°、40°、100°或20°、80°、80°。

問題2：若三角形的周長為17，且其三邊長都是正整數，那么滿足條件的三角形有多少個？

對這道題可以引導學生根據三角形的邊長進行分類討論：

設三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b、c為正整數，a≥b≥c。由a+b+c=17，∵a

分類討論能夠使復雜的問題簡單化，這樣學生就有了解題的突破口，使問題能迎刃而解。同時，運用分類討論解決數學問題能夠有效地培養學生的數學思維能力。所以我們應該重視這種方法在數學教學中的運用。

（責編 王學軍）