巧妙用“1” 鍛煉思維

【關鍵詞】高中數學 “1” 思維鍛煉【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A【文章編號】0450-9889（2012）10B-0059-02

“1”在高中數學中是一個既簡單又復雜的數字，簡單在于它的一般形式，復雜在于它可以有不同的表現。對此若能巧妙利用，在解題時往往能收到事半功倍的效果。通過各種變換來運用“1”，能鍛煉學生的思維，提高學生的思維能力，同時能讓學生體驗數學變換的奇妙，感受數學方法的魅力，從而能激發學生的數學學習興趣，提高學生的學習積極性。本文將具體闡述如何通過變換“1”來解決三角函數、不等式、復數問題。

一、三角函數問題

1.利用sin■2α+cos■2α=1代換

例1 已知tanα=2，求sinαcosα的值。

分析：這道題目已知角α的正切值，求它的正弦、余弦值，可以列方程組來求解，但根據tanα=2可知，角α位于第一或者第三象限，需要進行分類討論。

解法一：

（1） 當α位于第一象限時，可得

（2） 當α位于第三象限時，可得

由此可得sinαcosα=■。

再仔細觀察這道題，發現這是一個三角函數中的齊次式問題。這類問題的特點是已知角α的正切值，求關于角α正弦和余弦的三角多項式的值，解決這類問題的方法通常是“化弦為切”，而這道題要化弦為切時遇到麻煩，所以我們需要再觀察它的其他特點。觀察可發現sinαcosα的分母是1，而聯想到1=sin■2α+cos2■α，我們可以嘗試通過代換1來尋求另外的解題途徑。

解法二：sinαcosα=■=■=■=■ 。

評注：解法一是在三角函數同角的正弦、余弦、正切中知一求二 ，由于不明確角所在的象限，故需要分類討論。解法二利用sin■2α+cos■2α=1，將所求多項式化為二次齊次式，避免分類討論，簡化了解題過程。

2.利用tan45■=1代換

例2 求值： ■。

分析：本題有好幾種解法，但若選擇不當，計算起來將相當麻煩。仔細觀察題目可發現本題是分式形式，由此可聯想到兩角和的正切公式，但兩角和的正切公式tan（α+β）=■=與題目的形式有區別。這時我們注意到題目中1的位置是公式中的tanα，則自然會想到令1=tan45■■，將題目中的1進行代換。

解： ■=■=tan60■=■。

二、不等式問題

1.利用題目中有關“1”的條件

例3 已知x>0，y>0，且x+2y=1，求■+■的最小值。

分析：本題是求兩個正數和的最小值問題，容易想到利用基本不等式求解，而基本不等式成立的條件是“一正，二定，三相等”，很顯然題目給定的形式無法滿足第二個條件，所以需要根據題目中給出的條件作恒等變形，構造出所需形式（一般是湊和或積為定值）?，F利用題目中x+2y=1的條件進行代換，就能構造出基本不等式的形式來求解。

解法一：■+■=■+■=1+■+■+2=■+■+3。

∵x>0，y>0，∴■>0，■>0，

故■+■+3≥■

當且僅當■=■時取等號，即x=■y，又x+2y=1，所以當x=■-1，y=■時，■+■取最小值3+■。

解法二：■+■=（■+■）（x+2y）=1+■+■+2=■+■+3，接下來的解法同上。

2.通過構造“1”創造條件

例4 若0

分析：看上去本題與例3的問題較為接近，解題方法有可借鑒之處。例3解法的關鍵之處是利用“1”湊出積為定值的條件，從而讓基本不等式成立的條件得以滿足，而在本題中正缺少了這一關鍵條件。再仔細觀察，可發現兩個分式的分母里面暗藏玄機：x+（1-x）=1，由此可構造出“1”，使問題迎刃而解。

解：■+■=（1-x）+x■+■=■+■+5。

∵00，■>0，

故■+■+5≥■+5=9，

當且僅當■=■，即x=■時取等號，此時■+■取最小值9。

評注：以上兩個例題都是利用基本不等式求最值的問題，都不是可以直接求解的問題，需要根據題目的特征，巧妙運用“1”或構造有關“1”的條件進行恒等變形，將復雜的問題變得簡單明了。

三、復數問題

1.利用-i2=1簡化除法運算

例5 計算■。

分析：本題中的式子較復雜，需進行多次除法運算，若按照常規做法，計算比較麻煩。觀察到式子中多處出現“1”，可考慮約分計算，將式子中的1用-i2代替，通過約分即可化簡。

解：原式=■=■=■=■=-■。

評注：對于分子為實數，分母為純虛數的復數運算，可利用此法簡化運算。

2.利用■簡化乘方運算

例6 計算

分析：本題若直接進行乘方運算，計算量非常大。注意到

，可變換原式，再利用 即可迅速得解。

評注：教育學生，當遇到使用通常的方法難以求解的數學問題時，應該冷靜下來認真分析題目，看可否從不同的角度去另辟蹊徑。如本題中1的兩個立方虛根■的應用大大減少了運算量，在簡化復數運算方面能起很大的作用，這一點應引起我們的注意。

利用“1”來解決數學問題，實際上是一種數學解題策略、解題方法。它通過等價轉化、恒等變形，適當地引入或構造含有“1”的條件，化繁為簡，化難為易，使問題變得清晰，從而得以巧解、妙解。我們在數學教學中應注意總結，舉一反三，挖掘出“1”在更多數學問題中的妙用，以此類問題為載體，鍛煉學生的思維，提高學生的思維能力。

（責編 王學軍）