方程根的問題的教學設計

縱觀近三年的高考，數學越來越注重基本能力的考試.因此，數學教學不應局限于一個狹窄的知識領域里，而應讓學生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步深化和熟練運用課本的知識舉一反三.應用 “變式教學”法正是達到此目的的有效手段.所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化，即教師可不斷更換命題中的非本質特征；變換問題中的條件或結論；轉換問題的內容和形式；變式教學可以讓教師有目的、有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，可以幫助學生使所學的知識點融會貫通，從而使學生輕松掌握一類問題的解法.本文以方程根的問題為例淺談變式教學法.

【引入】導數是高中數學的重要內容，它是研究函數、方程、不等式等的重要工具.對三次方程Ax3+Bx2+Cx+D=0的根，在特殊情況下，我們可以直接猜出一根x0，然后轉化為(x-x0)(ax2+bx+c)=0，再展開，應用待定系數法即可求出a，b，c，再對ax2+bx+c=0求根

得解，如x3-3x2+2=0.但大多數三次方程的根不易猜出，如在探求x3-6x2+9x-10=0和x2-2lnx=x-2x+2方程的根的問題時，我們利用導數這一工具和

數形結合的數學思想就可以很好地解決.

【例題講解】

例1方程x3-6x2+9x-10=0的實根的個數是（）.

A.3B.2C.1D.0

分析：此題是一個三次方程，不易猜根.可先構造函數，再通過求導數判斷函數的單調性，畫出其草圖，數形結合分析求解.

解：令f(x)=x3-6x2+9x-10，則f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)，

∴ 當x＜1或x＞3時 f′(x)＞0，f(x)為增函數；當1＜x＜3時，f′(x)＜0，f(x)為減函數.

圖1

∴f(x)極大值=f（1）=-6＜0.

故f(x)的極大值在x軸的下方，如圖1，即f(x)

的圖象與x軸只有一個交點，原方程只有一個實根.選C.

由此題可以引申出這樣的變式題：

1.函數f(x)=x3-6x2+9x-10的圖像與函數y=0的圖像的交點個數是1.

2.函數f(x)=x3-6x2的圖像與函數y=-9x+10的圖像的交點個數是1.

3.方程x3-6x2+9x-10=0在(0，+∞)內的實根的個數是1.

例2已知方程x3+3bx2-2b3=16(b＜0)恰有一解，求實數b的取值范圍.

分析：此題是給出方程的根，反過來探求參變量的范圍.仍可先構造函數，再通過對函數求導得出其單調區間，畫出其草圖，據f(x)=16恰有一解，即函數值對應唯一的x值，數形結合分析求解即可.

解：∵函數f(x)=x3+3bx2-2b3，

圖2

∴由f′(x)=3x2+6bx＞0且b＜0得x∈(-∞，0)∪(-2b，+∞)，

由f′(x)=3x2+6bx＜0得x∈(0，-2b)，

∴f(x)

在(-∞，0)和(-2b，+∞)上遞增，在（0，-2b）上遞減.如圖2.

f(x)極大值=f（0）=-2b3＞0，f(x)極小值=f（-2b）=2b3＜0.

由圖2可知，若f(x)=16恰有一解，只需-2b3＜16得b＞-2，結合題目條件b<0，∴-2＜b＜0.

由此題可以引申出這樣的變式題：

1.已知方程x3+3bx2-2b3=16(b＜0)恰有兩解，則實數b的取值是.

略解：數形結合分析，只需f(0)=-2b3=16.

2.已知方程x3+3bx2-2b3=16(b＜0)恰有三解，則實數b的取值范圍是.

略解：數形結合分析，只需f(0)=-2b3＞16.

例3（2008，四川）已知x=3是函數f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個極值點.

（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函數f(x)的單調區間；

（Ⅲ）若直線y=b與函數y=f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍.

解：（Ⅰ）因為f′（x）=a1+x+2x-10，所以f′(3)=a4+6-1=0，因此a=16.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=16ln(1+x)+x2-10x，x∈(-1，+∞) ，f′(x)=2(x2-4x+3)1+x.

當x∈(-1，1)∪(3，+∞)時，f′(x)＞0;當x∈(1，3)時，f′(x)＜0.所以f(x)的單調增區間是(-1，1)，(3，+∞)，f(x)的單調減區間是(1，3).

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)的極大值為f(1)=16ln2-9，極小值為f(3)=32ln2-21.

而f(16)=162-10×16＞16ln2-9=f(1)，f(e-2-1)＜-32+11=-21＜f(3)，

所以數形結合可知：直線y=b與y=f(x)的圖象有3個交點，當且僅當f(3)＜b＜f(1).

因此，b的取值范圍為(32ln2-21，16ln2-9).

由此題可以引申出這樣的變式題：

1.f(x)=x+b與g(x)=x2+3x+2的圖像相切，記F(x)=f(x)·g(x).

(1)求b的值及F(x)的極值;

（2）若方程F(x)=K恰有三個不等的實數根，求K的取值范圍.

2.已知函數f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0處取得極值. （1）求實數a的值； （2）若關于x的方程f(x)=-52x+b在區間［0，2］上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍.

略解：（1）∵f′(0)=0，即1a-1=0.∴a=1.

(2)由f(x)=-52x+b得ln(x+a)-x2+32x-b=0.

設g(x)=ln(x+1)-x2+32x-b，則g′(x)=1x+1-2x+32，即g′(x)=-(4x+5)(x-1)2(x+1).

當x∈(0，1)時，g′(x)＞0，∴g(x)在(0，1)上單調遞增；

當x∈(1，2)時，g′(x)＜0，g(x)在(1，2)上單調遞減.

∵f(x)=-52x+b在（0，2］恰有兩個不同實數根等于g(x)=0在(0，2］恰有兩個不同實數根，

∴g(0)=-b≤0b≥0，

g(1)=ln(1+2)-1+32-b＞0b＜ln2+12，

g(2)=ln(1+2)-4+3-b≤0b≥ln3-1.

∴ln3-1≤b＜ln2+12.

小結：此類題的一般解題步驟是：1.構造函數，并求其定義域;2.求導數，得單調區間和極值點;3.畫出函數草圖;4.數形結合求解.

(責任編輯金鈴）