補償法在“大學物理”中的應用

摘要：補償法是分析和解決“大學物理”問題的一種重要方法。通過分析詳解具體例題，說明采用補償法解決物理問題思路更清晰，解題過程更加簡化；同時，補償法是體現“大學物理”素質教育理念的一種方法，教學中采用這種方法可以增強教學效果并且培養學生分析解決問題的能力。

關鍵詞：補償法；非對稱性；大學物理

作者簡介：高祿（1982-），女，遼寧沈陽人，中國地質大學（北京）理學院，講師；邢杰（1973-），女，內蒙古包頭人，中國地質大學（北京）理學院，副教授。（北京 100083）

中圖分類號：G642.41 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2012）28-0088-02

在“大學物理”教學過程中，老師針對具有對稱性的物理模型進行分析求解講解得多，因此學生也習慣于求解具有對稱性分布的物理問題。但是當遇到具有非對稱性分布的物理問題時，學生往往會感到束手無策。而補償法可以很好地化簡由于非對稱性分布給問題帶來的復雜性，采用此方法解題思路清晰，過程簡單。本文將通過典型例題的分析詳解，說明應用補償法求解力學和電磁學中的非對稱性問題，可以避免復雜的積分運算，解題過程簡單快捷。

一、補償法在力學中的應用

例1：如圖1所示的圓盤，O點和P點分別是大圓盤和挖掉的小圓盤的圓心，均在x軸上，相距為d。大圓盤的半徑為R，挖掉的小圓盤的半徑為r。求大圓盤挖掉一個小圓盤后質心的位置。

分析：由對稱性分析可知，挖掉一個小圓盤后，剩下部分的質心仍然在x軸上。但是在x軸上的具體位置則需要計算確定。若采用一般的微積分算法，較為復雜。可以采用補償法簡便地算出質心位置。在完整的大圓盤上補償一個質量為負的，大小和位置與挖掉的圓盤一樣的小圓盤，即等效于被挖掉一個小圓盤的大圓盤。

解：完整大圓盤質心的位置在O點，即x=0；補償的質量為負的小圓盤的質心在P點，即x=d。由質心位置的定義式，可求得挖掉一個小圓盤的大圓盤剩下部分的質心位置。設圓盤的面密度為，則質心位置為。質心位于x軸的負方向，距圓心的距離為。

例2：從一個半徑為R的均勻薄板上挖去一個半徑為r的圓板，所形成的圓洞中心在距原薄板中心R/2處（如圖2所示），所剩薄板的質量為m。求此時薄板對于通過原中心而與板面垂直的軸的轉動慣量。

分析：這個問題如果按照一般的解題思路，需要寫出相對于過O點垂直于板面的定軸的轉動慣量微元，再進行積分，較為復雜。而應用補償法，可以使問題大為簡化。由于轉動慣量具有可疊加性，所以已挖洞的圓板的轉動慣量J等效于沒挖洞的圓板的轉動慣量J1再補償一個質量為負，位置與挖掉的半徑為r的小圓板一致的圓盤，其轉動慣量為J2。

解：設板的密度為ρ，厚度為d，則相對于通過O垂直于盤面的定軸而言，

二、補償法在電磁學中的應用

例1：一均勻帶點球體，半徑為R，體電荷密度為ρ，今在球內挖去一個半徑為r（r

分析：這個問題同樣也是一個具有非對稱性分布的問題，如果采用微積分的方法，也是難以計算，而且容易出錯的，采用補償法可以使問題大為簡化。有空腔的帶電球體的電場可以等效于帶正電的完整球體和一個體電荷密度為-ρ的充滿空腔的球體產生的電場疊加之和。

解：在空腔內P點，帶正電球體的電場為，帶負電球體的電場為，合場強為。為由原帶電球球心O+指向空腔中心O-的矢量線段。綜上，可以證明空腔內的電場是均勻的，而且方向與兩球心連線方向平行。

例2：有一長圓柱形導體，截面半徑為R。今在導體內挖去一個與軸平行的圓柱體，形成一個截面半徑為r的圓柱形空洞，其截面圖如圖4所示。在有洞的導體柱內有電流沿柱軸的方向流通，求洞內各處的磁場分布。設柱內電流均勻分布，電流密度為j，從柱軸到空洞軸之間的距離為d。

分析：依據補償法，有洞導體柱的磁場分布等于無洞導體柱通有電流密度j加上空洞中通有電流密度為j′（j′=- j）的磁場分布。

導體柱通有電流密度j在洞內P點產生的磁場為，洞內通有電流j′在P點產生的磁場為，則洞內P點的磁場為。由此可知，洞內磁場為均勻磁場，方向與洞的軸線垂直。

三、結語

補償法在“大學物理”課程教學過程中多次出現，利用這種方法可以巧妙地解決力學、電磁學中的非對稱性問題，簡化解題過程。在教學中運用補償法講解典型例題可以使學生對物理概念的理解更加深刻，同時也能夠提高其分析解決問題的能力，增強物理思維的靈活性，同時提升他們的科學素養。因此，應該在教學中重視補償法的運用，讓學生通過學習這個方法獲得更大的收獲。

參考文獻：

[1]倪燕茹.類比法和補償法在大學物理教學中的運用與探討[J].內江師范學院學報，2009，(8):83-86.

[2]漆新民.電磁學中的補償法[J].江漢石油學院學報，1986，(2).

[3]張三慧.大學基礎物理學[M].北京:清華大學出版社，2003.

（責任編輯：宋秀麗）