試論高中數(shù)學解題直覺思維的培養(yǎng)

摘 要：直覺思維是對一個問題未經(jīng)細致分析，僅憑借內(nèi)因的感知迅速地對問題答案作出初步判斷、猜想，由感知導出的思維。數(shù)學直覺思維是數(shù)學創(chuàng)造的源泉。解題教學是數(shù)學教學中的重要組成部分，重視數(shù)學思維方法的教學，誘發(fā)學生的直覺思維，能夠提高學生的解題速度和正確率，培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造力。

關鍵詞：高中數(shù)學；解題思路；直覺思維

直覺思維是“人腦對客觀世界及其關系的一種非常迅速地識別和猜想，是一種整體、粗線條、高度簡約、跳躍式的思維”。它不是分析性的、按部就班的邏輯推理，而是從整體上作出的直接把握。數(shù)學直覺思維是人腦對數(shù)學對象及其結構的一種迅速的識別、直接的理解、綜合的判斷，是數(shù)學的洞察力。數(shù)學直覺思維依托于學生對事物的直接認識，從整體上把握數(shù)學對象，經(jīng)過充分的準備，接觸到問題的實質(zhì)，找到答案。諸如：換元、數(shù)形結合、歸納猜想、反證法等，對滲透直覺觀念與思維能力的發(fā)展大有益處。許多高中數(shù)學問題的解答都是依托直覺感知得到某種猜想和預感，然后進行邏輯推理和證明，進而使問題得以解決。

一、克服學生思維的單向性，認知直覺思維

數(shù)學直覺思維是“具有意識的人腦對數(shù)學結構的某種直接的領悟和洞察”。直覺思維具有“自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點”。數(shù)學是人們對生活現(xiàn)象與世界運行的秩序直覺的體現(xiàn)，再以數(shù)學的形式將思考的理性過程格式化。高中數(shù)學最初的概念都是基于直覺，數(shù)學問題的解決也離不開直覺，當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺能收獲時，那么成功將帶給學生巨大的震撼，其內(nèi)心將會產(chǎn)生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力。直覺思維具有快速性，能迅速肯定或否定某一思路或結論，給人以“發(fā)散”“放射”的感覺，有利于提高學生的思維品質(zhì)。加強直覺思維能力的訓練，對克服學生思維的單向性，提高創(chuàng)新思維是有利的。

二、引導學生大膽猜想，激發(fā)直覺思維

直覺思維是瞬間的思維火花，是長期積累的升華，是思維者的靈感，是側重于感性的思維，它清晰地觸及到事物的“本質(zhì)”。科學家牛頓說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。觀察、類比、歸納等方法都是應用于高中數(shù)學猜想的常用方法。在數(shù)學解題訓練中教師應注意指導學生對數(shù)學習題條件、圖形進行認真的觀察、分析、類比、歸納，繼而發(fā)現(xiàn)有規(guī)律性的現(xiàn)象。引導學生大膽進行猜想，鼓勵學生猜結論，猜證法。即使猜錯了也無關緊要，直覺思維也有失誤的時候，錯的不是思維本身，而是緣于自身還不豐富、不完善的知識儲備和思維能力，激發(fā)學生的積極性。直覺思維不太可靠，但難能可貴，鼓勵學生尋找猜錯的原因，培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺思維能力，對學生大膽猜想給予肯定，對合理成分及時給予鼓勵。

例1.若數(shù)列an滿足an+1=2an，（0≤an≤1）an-1，（an＞1），且a1=■，則a2012=

_____

分析：本題應引導學生看出數(shù)例題的常用解題方法，求數(shù)列通項公式，遞推數(shù)列問題中的通項公式求解方法有等差、等比公式法或周期數(shù)列求通項法。

略解：由a1=■，得a2=■，a3=■，a4=■，a5=■，a6=■…

由此可得數(shù)列an是周期為5的周期數(shù)列，可得a2012=■

例2.已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，當n∈N*時f（n）∈N*，若f ［f（n）］=3n則f（5）的值等于_____

分析：這個問題若盲目地想去計算的解析式，不知要走多少彎路，但根據(jù)運算的經(jīng)驗可知，滿足f ［f（n）］=3n的函數(shù)解析式很難計算出，可能本題的函數(shù)不存在確定的解析式，而且本題的定義域值域都是正整數(shù)，提示本題可能是一個離散的數(shù)列問題，而且不存在確定的通項，可能應該從f（1）=1開始討論。這個假設是一種簡單直覺，在腦海中迅速閃現(xiàn)，指明解題方向。

略解：當f（1）=1時f ［f（n）］=3，即f（1）=3矛盾

當f（1）=2時f ［f（n）］=f（2）=3，ff（2）=f（3）=6，f ［f（n）］=f（6）=9，結合函數(shù)單調(diào)性可得f（4）=7，f（5）=8符合題意

當f（1）≥3時f ［f（n）］=f（3）=3矛盾。

綜上f（5）=8

當學生做出了大膽的猜想之后，教師一方面要鼓勵學生努力去證實自己猜想的正確性，指導學生朝正確的猜想去努力，引領學生思維的航向，以免使學生離解題目標越來越遠，導致學生對自己的猜想喪失了信心，不利于學生直覺思維的發(fā)展。

三、滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)直覺思維

滲透就是把某些抽象的高中數(shù)學思想逐漸融進具體的、實在的數(shù)學知識中，使學生對這些思想有初步的感知或直覺，但還沒有從理性上認識它們。方法是解決思想、行為等問題的門路和程序，是思想的產(chǎn)物，是包含或體現(xiàn)著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。要滲透的有集合思想、對應思想、公理化與結構思想、抽樣統(tǒng)計思想、極限思想等。高中數(shù)學主要滲透四種思想：函數(shù)與方程思想，數(shù)形結合思想，分類討論思想，轉化與化歸思想。尤其數(shù)形結合思想更能體現(xiàn)數(shù)學直覺思維培養(yǎng)的重要性，由數(shù)轉化為形，抽象變直觀，復雜變簡單，更有效地解題。

例3.已知點M（3，5），在直線l：x-2y+2=0和y軸上分別找一點P和Q，使△MPQ的周長最小。

分析：結合圖像，作點M關于直線l的對稱點M1，再作點M關于y軸的對稱點M2，連結線段M1，M2，與l及y軸分別交于P，Q兩點。由軸對稱及平面幾何知識可知，此時△MPQ周長最小。

略解：由M（3，5）及l(fā)可求M關于l對稱點M1（5，1），M關于y軸對稱點M2（-3，5），根據(jù)M1，M2可得直線M1M2∶x+2y-7=0。令x=0得Q（0，3.5）；解方程組x+2y-7=0x-2y+2=0得P（2.5，2.25）。點P，Q即為所求。

本題運用了數(shù)形結合的思想及轉化的思想，把求周長最小值問題轉化為圖形問題，求P，Q兩點坐標又運用了函數(shù)與方程思想。運用數(shù)學思想，使問題迎刃而解。在教學中教師應加強數(shù)學思想的滲透，學生就能很直觀地找準數(shù)量關系，理解解題思路，得出正確答案，并在不知不覺中發(fā)展數(shù)學思想。

本題運用了轉化的思想，把恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題，運用數(shù)學思想，使問題迎刃而解。在教學中教師應加強像齊次式等一些數(shù)學思想的滲透，激發(fā)學生的直覺思維。

四、豐富數(shù)學知識組塊，拓展直覺思維

高中數(shù)學直覺思維是對思維對象從整體上的考察，調(diào)動自己的全部知識經(jīng)驗，通過豐富的想象做出的敏銳而迅速的假設、猜想或判斷，省去了分析推理的中間環(huán)節(jié)，采用“跳躍式”的形式。知識組塊又稱知識反應塊，它們由數(shù)學中的定義、定理、公式、法則等組成，并集中地反映在一些基本問題、典型題型或方法模式中。

數(shù)學組塊思維是數(shù)學直覺思維整體性的邏輯基礎，學生在解決數(shù)學問題產(chǎn)生直覺時，經(jīng)常感到有些思維加工的過程十分簡略，許多細節(jié)沒有被意識到，原因就在于主體的直覺思維是一種組塊式的數(shù)學思維。在高中數(shù)學教學中應當重視基本問題的教學，使學生熟悉數(shù)學基本問題的解法和結論。教師經(jīng)常對數(shù)學知識進行比較、歸類、總結，形成完整的數(shù)學知識結構，善于把新問題轉化為舊問題，將舊問題的結論運用于解決新問題，注意新舊問題的比較。在解決數(shù)學問題時要重視數(shù)學問題的定性分析，從總體和本質(zhì)上對數(shù)學問題加以把握。

總之，高中數(shù)學解題的直覺思維能力的培養(yǎng)是一個長期的過程。教師必須在數(shù)學教學的每一個角落滲透對學生的直覺思維的培養(yǎng)，讓學生有敏捷的思維、靈活的解題思路和很強的對以往知識結構綜合利用能力。“授之以魚，不如授之以漁”，解題方法的培養(yǎng)，有利于對學生的智力開發(fā)，加強邏輯思維訓練。只有注重直覺思維能力的訓練，才能培養(yǎng)出現(xiàn)代科技發(fā)展需要的開拓型人才。

（作者單位 江蘇省蘇州市相城區(qū)望亭中學）