從中位線定理的證明再談“一題多證”的妙用

“一題多證”是數學教學的常見策略，其妙用在于：能使學生開拓視野、拓展思路、養成獨立思考習慣，若能輔以“多樣化解題方法”的互動交流，還可形成最優化的解題策略和方法，豐富基本數學活動經驗和基本數學思想體驗.因此“一題多證”是培養學生多方面、多角度、多層次地綜合各種知識模型分析并解決實際問題能力的有效途徑，更是培養學生見解獨特、觸類旁通、靈敏速捷、蘊含創新的發散思維的好方法.

《全日制義務教育數學課程標準》（2011年版）的“課程目標” 強化了基本數學思想和基本活動經驗要求，關注過程和結果、合情推理和演繹推理、生活情境和知識系統性等關系.因此，對于同一個題目平臺中每一個已知條件的分析，師生各自聯想到的知識模型、分析方法、解題思維構建顯然都是迥異的，這都很有互動探討交流的必要！讓學生“在游泳中學游泳”，通過師生對“一題多證”多向思考、多模多法等研討交流，可促進學生在知識模型之間產生更廣泛聯想、緊密串聯和有效融合，有效地從各自的最近發展區中發現問題解決的切入口，選擇最優解題策略，構建最佳解題思路，從而提升學生解決問題的分析能力、綜合能力、應用能力和應變能力，力求不斷達成其解題思維深刻性、探索性、靈活性、綜合性、系統性層次提升的目標要求，進而深刻領悟解決問題的實質，掌握解決問題的一般規律，從中逐步構建數學思想方法體系.本文將從中位線定理的多種證法再談“一題多證”的以上妙用.

如圖，是

法2 “中點”？？？？→聯想到“中點定義”？？？？→聯想到“圓心與直徑”？？？？→聯想到“圓”，于是兩個“中點”可構建如圖2的“兩圓”可證DEAF⊥，BCAF⊥，故.再同法1證明

/ /

DEBC=.

法3 “中點”？？？？→聯想到“直角三角形斜邊上中線的性質”（構造直角三角形，作AFBC⊥于F，連結

，EF，易證

法4 “中點”？？？？→聯想到“中點坐標公式”？？？？→聯想到 “建立直角坐標系”？？？？→聯想到“選擇最合適直角坐標系” ？？？？→聯想到解析法、參數法等綜合應用（有利于“初高中銜接”！），可構建如圖4可同時證

總結.這里，應進一步歸納和提升每一個知識點（如與“中點”有關的所有定理）關聯到的所有知識模型體系及其數學思想方法---有關已知條件的“中點”，應聯想到以上相關知識模型作為解題思路的切入口打開解題思路，逐步聯想到其后相關聯的知識模型及其數學思想方法構建完整的解題思維.還可“趁熱打鐵”地構建與“中點”有關的所有知識模型體系，引導學生繼續聯想“中點”有關的其他知識模型：垂直平分線、等腰三角形的“三線合一”（中線）、中線涉及的“重心性質”、三角形和梯形的中位線定理、垂徑定理……等等.另外，作為數學思想方法或推理方法，可能相對本題來說是較為繁瑣，但相對用于解決其他問題可能是最佳方法，比如：構造法、解析法、參數法、同一法、變換法、建模法、向量法、剪拼法、數形結合等.

“一題多證”的妙用及

程標準》（2011年版）的“課程目標”已將“雙基”要求變為“四基”要求：明確提出“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗.因此，以上“一題多證”中證法的繁簡顯得不太重要，重要的是：“一題多證”的魅力在于其證法背后的思維構建的價值和靈活用到的數學思想方法.常此以后，通過“一題多證”的探討交流，學生“找尋思維的切入點或突破口”將越來越容易，懂得了知識模型間的緊密關聯關系，掌握了聯想思維的有效展開，學會了構建完整解題思維，優化解題策略，確定最簡的解題思路，深刻領悟了解決問題的實質，掌握了分析并解決實際問題的一般規律.更重要的是：通過經常性的“一題多證”的探討交流，每個知識模型都自然融合，高度綜合，終成“智慧”，系統性知識與推理技能水到渠成，數學思想方法體系能有效構建，觸類旁通、靈敏速捷、蘊含創新的發散思維不斷提升，激揚情趣，飛動情思，學習信心也節節高升，再學習的“最近發展區”不斷擴張了，自主學習或自學能力能由此提高.那么，學生的最終成才變成是必然的，其未來發展可謂是“前途無量”！