基于區分的試題評析

高考作為高校選拔新生的大規模考試.其試卷的信度、效度，尤其是區分度備受關注.注意到《課標》所提出高中數學課程的總目標是：使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展和社會進步的需求.可以認為，關注“數學本質與應用”、“強調能力立意”、“數學發現與探究”是提高試卷區分功能的有效途徑.

1 基于區分的數學本質與應用考查

試卷立足數學學科本質，從數學各分支的核心內容、學科思想及教育價值入手設置試題，合理地區分考生的數學素養以及是否具備進一步學習所必須的數學知識做準備.

試卷中多題設計到實際問題，凸顯數學與實際的聯系，檢測考生是否能學以致用.

例1 （理7）若函數則下列結論錯誤的是

D x

評析 本題選擇狄利克雷函數，并不是常見的函數，考生對它的了解甚少.求解本題的關鍵在于考生是否能夠自主的捕捉、理解信息，進而合理運用

相關知識考查了考生對函數本質及函數相關性質的掌握程度.

例2 （理1 6 ）受轎車在保修期內維修費等因素的影響，企業生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關，某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取5 0輛，統計數據如下：

將頻率視為概率，解答下列問題：

（Ⅰ）從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率；

（Ⅱ）若該廠生產的轎車均能售出，記生產一輛甲品牌轎車的利潤為X1 ，生產一輛乙品牌轎車的利潤為X2 ，分別求X1 ，X2的分布列；

（Ⅲ）該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產其中一種品牌的轎車，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該生產哪種品牌的轎車？說明理由.

評析 本題主要考查古典概型、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列等基礎知識，同時以現實生活中的實際問題為載體，設置應用性問題，較好地考查考生將實際問題轉化為數學問題的抽象概括能力、數據處理能力及應用意識.

2 基于區分的強調能力立意考查

堅持能力立意，關注對數學思想方法的考查.高考數學學科考試的重點是考查運用知識分析問題和解決問題的能力，因此命題時應盡量避免編制繁瑣計算的試題，力圖通過數學學科的考試，測試出考生將知識遷移到不同情境的能力，從而區分考生已有的和潛在的學習能力.命題應突出能力立意，對知識的考查側重于理解和應用，要求考生抓住問題的實質，對試題提供的信息進行合理地分檢、組合、加工，尋找解決問題的辦法.

例3 （文1 8 ）某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據： a= y#8722; b x ；

（Ⅱ）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（Ⅰ）中的關系，且該產品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？（利潤=銷售收入－成本）

評析 本題主要考查回歸分析、一元二次函數等基礎知識，檢測考生運算求解能力、應用意識，考查回歸與轉化思想、特殊與一般思想.而且有引導中學數學教學回歸教材，關注對教材的研究與利用，克服脫離教材的“題海戰術”.

3 基于區分的數學發現與探究考查

發現與探究揭示了數學的發生、發展規律，是進一步認識數學的基礎.數學的價值和數學的文化都需要通過發現與探究得以體現.高考中可適當設置開放性、探索性試題，考查創新意識和探究精神.考查創新意識的問題應立足于中學數學，以中學數學的基礎知識為基本素材，這樣更好地區分考生是否能創造性地應用知識分析問題、解決問題的能力.

例4 （文）某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數.

s i n (#8722; 2 5° ) + c o s 5 5 °#8722; s i n (#8722; 2 5 ° ) c o s 5 5 .

試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論.

評析 本題主要考查同角三角函數的基本關系、兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式等基礎知識.第（Ⅱ）問為類比研究題，通過對上述五個式子比較、分析，揭示數學的發生、發展過程.考查考生探索、研究及理性思維以及由特殊到一般地歸納猜想的抽象概括能力、數據處理能力及應用意識.

總體來說，試卷具有起點低、結尾高、入手易、深入難等特點.但各類題型的初步比較基礎，收尾過難，以至于大多數考生只能得到基本分，無法將中等生與中等層次以上的學生有效的區分開來，這必然將致使試卷的區分度不高.