從一個不等式的證明看課標課程高考的變化

筆者通過對一道以函數為背景的不等式證明試題進行多種角度探究，同時查閱了2 0 1 1年高考數學試卷，發現基于函數背景的不等式證明頗受關注.本文擬呈現筆者對這一方面的探究所得，期盼能有拋磚引玉之效.

解法2 構造新函數，利用導數求函數的最值證明不等式.因為0< b < a ，所以把a當成變量x ，而+#8722;#8722; + ，x∈ (0 ， b ) ，

運用導數的方法求F( x )的最大值小于0即可.

解法3 用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理幾何意義：若連續曲線

( ) P c， f c ) P

A B平行.

證明 我們知道是一個連續可導的函數，而且是一個上凸的函數，所以可以運用拉格朗日中值定理證明不等式.因為0 ，所以證明

原不等式得證.

2 以函數為背景的不等式證明高考試題展示

例1 (2 0 1 1年高考全國卷·理2 1 ) 已知函數導數的幾何意義和應用出發考查函數的最值的求法、不等式證明、恒成立問題，這些題目在立意、背景、角度、梯度等設計上從函數的主干知識鏈結函數、方程、導數、不等式串聯起來，體現較強的綜合性，同時關注了初、高等數學的銜接點，因而不同凡響.

3 啟示

基于上述分析，可以感覺到課標課程高考命題已經在產生著一些悄然變化.

3 .1 知識的要求在悄然變化

課標課程改革之前，高考經常將數列不等式結合在一起命題作為高考的壓軸題，但是課改后數列的課時少了，不等式要求也降低了，所以以數列為背景不等式證明試題的可能性也降低了，從近幾年高考來看，以函數為背景考查不等式證明成了一種趨勢.

3 .2 考查功能在悄然變化

以前不等式證明要求高（如放縮法、數列歸納法的運用），需要很強的技巧性，入口窄，不易考查出學生的基本功能，而以函數為背景的不等式證明入口較寬，要求學生要有較扎實的函數基本知識，而函數正是高中數學的靈魂，貫穿整個高中教材的始終，也考查學生分析問題、轉化問題、解決問題的能力，這與新課程高考重點考查學生的基本知識及對基本知識的應用能力相符合.

3 .3 命題內容及形式在悄然變化

以函數為背景的不等式證明常常涉及到多個知識塊的考查，如基本初等函數、三角函數、含參不等式的解法、恒成立問題、導數的幾何意義及其應用甚至高等數學基本知識的應用，課標課程高考命題更注重多個知識塊的自然交匯，更注重知識間交融應用.

3 .4 從“華山一條道”到“條條道路通羅馬”

以前不等式證明可以說解法單一，技巧性強，想得到就會做，想不到就不會，經常是華山一條道，易束縛學生思維的發揮，失去考查學生分析問題的能力.而以函數為背景的不等式證明，可以多種方法解決問題，從不同角度去思考分析轉化問題，更注重考查學生的轉化與化歸、提取分析信息能力，更注重考查學生對函數的有關知識和性質的掌握情況.