圓的一個(gè)結(jié)論在圓錐曲線中的類比及推廣

y r r

x x+ y y = r形式相同，其結(jié)構(gòu)簡潔明了，容易記憶.那么圓錐曲線是否也有類似的結(jié)論呢？筆者經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)圓錐曲線也有類似上述圓的結(jié)論.

定理1 若點(diǎn)是橢圓

= ，因?yàn)檫^A B，的直線有且只有一條，所以l的方程就是直線A B的方程，即直線A B的方程為

+ = (a> b > 0 )右（左）準(zhǔn)線上的一點(diǎn)作該橢圓的兩條切線，（ P A P B

A B，為切點(diǎn)），則直線A B必過橢圓的右（左）焦點(diǎn).

證明 由定理1 ，直線A B的方程為

證明 證明方法與定理1的方法同（略）.

推論2 若過雙曲線

#8722; = (a > 0 ，b右

（左）準(zhǔn)線上一點(diǎn)可作該雙曲線的兩條切線，（ P A

P B A B，為切點(diǎn)），則直線A B必過雙曲線的右（左）焦點(diǎn).

證明 證明方法與推論1的方法同.定理3 若過定點(diǎn)可作拋物線

y y= m x + x

推論3 過拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)作該拋物線的兩條切線，P B （ y= p x p > P P A A B，為切點(diǎn)），則直線A B必過拋物線的焦點(diǎn).

證明 證明方法與推論1的方法同.

推論4 過直線l: x=#8722;a ( a > 0 )上一點(diǎn)作拋物線 P A P B A B，為切點(diǎn)），則直線A B必過定點(diǎn)M( a ， 0 ) .

證明 設(shè)P(#8722; a， y0 ) ，由定理3知道A B的方程為y 0 y= p( x#8722; a )，令y =0得， x= a ，

+ = >b > 0 )右（左）焦點(diǎn)F作直線與該橢圓交于A B，兩點(diǎn)，若橢圓在A B，兩點(diǎn)

切線l1和l2交于點(diǎn)則點(diǎn)Q在橢圓的右（左）準(zhǔn)線上.

證明 若

A B，兩點(diǎn)分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在一條定直線上，并求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

解 (Ⅰ)求得橢圓的方程為

， .綜上所述，點(diǎn)在一條定直線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是

參考文獻(xiàn)

[1 ]張赟，張淑萍.從一道聯(lián)賽（預(yù)賽）題談圓錐曲線的又一個(gè)有趣性質(zhì).數(shù)學(xué)通訊，2 0 0 9 （5 ）：2 9 -3 0