“等差數列的前n項和公式推導”二次教學設計有感

1 設計背景

現行的高中數學教材在引入“等差數列的前項和”這一節課中大都采用了高斯計算作為引例. n

起初，筆者覺得從高斯求和引入，趣味性強、富有啟發性，且學生通俗易懂，容易把學生注意力和思維引入到“首末湊配”上.但也有缺陷，例如體現不出等差數列求和的必要性（這個引例只是說明了怎樣做的問題，卻沒有道出為什么要這樣做）、啟發性過強（不“啟”也能“發”，不利于思維訓練，沒有觸及到思維層面的東西）、學生易在配對上糾纏（奇偶性討論）、不利于數學方法本質的揭示（倒序求和法的揭示不夠自然、充分）.因此，筆者在上這節課時作了如下的設計.不到之處，懇請批評指正.

2 設計方案一

從現實需要出發創設問題情境，這樣可以充分得體現研究等差數列前n項和的必要性，繼而引出探究一般等差數列求和規律.首先讓學生欣賞一幅美麗的圖片——泰姬陵.問題1 ：泰姬陵是印度著名的旅游景點，傳說中陵寢中有一個三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有1 0 0層，同時提出第一個問題：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計算1 2 ？問題2 ：何老師按揭買房，向銀行貸款2 5萬元，采取等額本金的還款方式，即每月還款額比上月減少一定的數額.2 0 0 7年1月，我第一次向銀行還款2 3 4 8元，以后每月比上月的還款額減少5元，若以2 0 0 7年1月銀行貸款利率為基準利率，那么到2 0 2 6年1 2月最后一次還款為止，何老師連本帶利一共還款多少萬元？通過模型直觀地用實際生活引入新課.我本以為如此設計彌補了高斯求和引入的不足，體現了創造性地使用教材.可當我出示問題時，突然一位平時數學不是很好的學生立即說出了解答過程，問其原因，答高斯求和法，首末相加…….學生的回答，讓我覺得我的設計顯得蒼白無力，只好又繞回到高斯求和了.我只得在黑板上寫出1 ？學生很快答出5 0 5 0 .

生：（探究）………

盡管此處用到了等差數列角標和性質從高斯求和算法出發，對進行奇偶討論尋求求和公式.思路較自然，學生易想到.但對于奇偶討論，學生還是有困難.尤其對于一般等差數列求和規律的探究只能通過自導自演.利用實際問題伐木工人計算堆放在木場的木頭根數為情境，來導出“倒序相加法”.表面是探究，實質還是灌輸，更重要的是花費的時間多，課堂效率不高，在遺憾中結束了課，邁著沉重的步伐陷入反思……

課后，我深刻地進行反思，難道真的沒有兩全其美的方法嗎？重新分析課堂中的一幕幕.問自己在課堂引入中要達到什么目的：一般認為，課題的引入是否成功，主要體現在以下四個方面：(1 )是否自然合理，既是前面知識的繼續，又是后續知識的開端，以一定的積累為基礎；(2 )能否引起學生的興趣，使他們聚精會神地投入進來，在情感上與教師和教材貼得更近；(3 )使學生初步了解這節課的教學任務，無論是在操作層面上，還是在思維層面上，做好迎接挑戰的準備；(4 )讓學生面臨一個似曾相識，己有一些感性認識、但理性認識欠缺的問題，形成一個欲罷不能的追求目標.本節課是節公式教學，在何處設計探究點？如何探究？我第二次重新進行思考、設計，在另一個班又重新上了遍，課堂實錄如下：

3 設計方案二

師：（開門見山，節約時間）前面我們研究了等差數列的有關概念和性質，今天我們再來探究下等差數列前n項和的規律（板書課題，言簡意賅地拋出探究內容）

師：歷史上求和用符號表示，數列前項和用表示，即

S= g a ， d n ，

師：有了猜想，就有了研究方向.但如何選擇探究起點？研究方法是什么？

生：由特殊到一般的思想方法.（研究方法的指導）師：我們來整理下剛才的討論：已知等差數列，S a .試用， ，n表示.研究方法：由特殊到一般的思想方法.

，同時學會了研究數學的一種方法：歸納—猜想—證明，接下來如何證明？

生：法1 ：利用等差數列性質：

是否可以給一個幾何解釋呢？（暗示學生數形結合思想）

教師提示將求和公式與梯形的面積公式建立聯系，而梯形面積公式的推導也正是利用了倒置思想.

利用數形結合的思想，使學生對兩個公式有直觀的認識，體會數學的圖形語言.

（探究成功，教學和諧有序地進入下一個環節）

4 設計有感

如何探尋適合于學生自己的教學設計，使教學效益最大化一直是我們一線教師畢生的追求.從本節課的改進中，筆者對課堂教學的設計有以下幾點想法：

4 .1創設問題情境也要講究一個“度”

《普通高中數學課程標準（實驗）》在教學建議中要求教師創設適合的問題情境，鼓勵學生發現事物的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程.所謂問題情境，簡言之，是一種具有一定困難，需要學生通過努力去克服，（尋找達到目標的途徑），而又力所能及的學習情境.只有把知識和情境有機結合起來，思維才會表現出高度集中，對學生才能有強大的吸引力.但時下的數學課堂教學有過于追求問題情境生活化的傾向，而忽視數學的自身特點，不能從學生認知結構中已有的數學知識出發.像本課設計方案一從實際問題引入是失敗的，后來從數學內在聯系出發經過觀察、歸納、猜想、證明，結論的探究、方法的探求的設計取得了較好的探究效果.

4 .2課堂探究也要追求務實、有效

這節課是等差數列前項和的問題，這個問題如何探究？轉化為與的關系，這個關系如何探究？要么化成， ， ，要么轉化成， ， ，如何化呢？不就有等差數列的性質可以用嗎？性質又如何入手？這就涉及方法論了，教師在課堂上用的最多的由特殊到一般方法，這樣一步步轉化就很自然，充分體現數學的思想方法和數學精神，使學生學會了“從無到有”的探究方法，體現了探究的實效.在教學設計中，教師應善于根據不同的教學內容、靈活應用不同的教學方法.教師謀求的是不同教學方式之間的平衡與互補，尋求的是不同教學方法的一種最佳的整合狀態.該“探究”就“探究”，宜“接受”就“接受”，只有多種教學方法取長補短、平衡互補、相輔相成，才能取得相得益彰的教學效果，才能促使學生的最優發展.

教學設計是多元化的，是動態的，既定的教學設計在教學實施中需要不斷地調整與完善，不斷變化才才是教學設計的本質.而無論如何設計，都必須基于對數學課堂教學的理解，基于對數學課堂教學核心價值觀的認知，唯如此，才能實現數學課堂的高效率和高質量.